Vytvořující funkce (posloupnost)

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Jako vytvořující (též generující) funkce posloupnosti je mocninná řada, která v sobě obsahuje informaci o dané posloupnosti. Vytvořující funkce tedy umožňuje popsat posloupnost a pracovat s ní prostřednictvím funkce, která v sobě obsahuje veškeré informace o dané posloupnosti.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Obyčejnou vytvořující funkci posloupnosti zapíšeme jako

Jedná o tzv. otevřený tvar vytvořující funkce. Poznáme ho tak, že je v něm nekonečný součet (což se nám nemusí příliš líbit). Proto často chceme nalézt tzv. uzavřený tvar, ve kterém se nekonečný součet nevyskytuje.

Vysvětlení na praktické ukázce[editovat | editovat zdroj]

Mějme např. posloupnost

Pak její vytvořující funkci lze zapsat (na intervalu, ve kterém tato řada konverguje) jako:

Uzavřený tvar této funkce lze snadno odvodit z obecného vztahu pro součet geometrické posloupnosti:

Tyto dva tvary spolu souvisí tak, že když do nich doplníme za libovolné reálné číslo z intervalu (-1,1) tzn. |x|<1, pro které uvedená mocninná řada konverguje, vyjde nám v obou tvarech vždy naprosto stejný výsledek.

Například doplníme , pak nám vyjde součet otevřeného tvaru vytvořující funkce:

A pro stejné vyjde uzavřený tvar taktéž:

Vytvořující funkci této jednoduché posloupnosti lze dále považovat za klíčovou pro odvození uzavřených tvarů složitějších posloupností.

Například derivací řady získáme řadu

Pokud tedy zderivujeme uzavřený tvar dostaneme

Tato nová odvozená funkce představuje posloupnost

Podobnými úpravami lze postupně odvodit vytvořující funkce i pro vybrané posloupnosti (viz tabulka níže).

Výpočet koeficientu posloupnosti z vytvořující funkce[editovat | editovat zdroj]

Máme-li vytvořující funkci ve tvaru , vypočítáme požadovaný koeficient následovně:

Nebo lze pro použít tento vzoreček

Příklad[editovat | editovat zdroj]

Hledáme koeficient u vytv. fce :

Poznámka: Výpočet hodnoty koeficientu u tohoto typu vytvořující funkce vychází ze zobecněné binomické věty.

Vybrané posloupnosti a jejich vytvořující funkce[editovat | editovat zdroj]

posloupnost vytv. fce

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]