Schrödingerova rovnice

Schrödingerova rovnice je pohybová rovnice nerelativistické kvantové teorie. V roce 1925 ji formuloval Erwin Schrödinger. Popisuje časový a prostorový vývoj vlnové funkce částice, která se pohybuje v poli sil. Tato rovnice má v kvantové mechanice stejné postavení jako druhý Newtonův zákon v klasické mechanice.

Odvození rovnice

Schrödingerova rovnice ve své době přirozeně vyplynula z předchozích výzkumů.

V roce 1905 došel Albert Einstein při studiu fotoelektrického jevu ke vztahu

$E = h f\;$,

který vyjadřuje vztah mezi energií E a frekvencí f kvanta elektromagnetického záření (fotonu), přičemž h označuje Planckovu konstantu.

V roce 1924 přišel Louis de Broglie s hypotézou, podle které přísluší všem částicím (nejen fotonům) vlnová funkce $\Psi\;$, přičemž vztah mezi hybností částice a vlnovou délkou vlny, která byla částici přiřazena (tzv. de Broglieho vlna) vyjádřil vztahem

$p=h / \lambda\;$.

De Broglie pomocí těchto vln také ukázal, že Einsteinův vztah $E = hf$ platí nejen pro fotony, ale pro všechny částice.

Pro energii a hybnost lze pomocí úhlové frekvence $\omega = 2\pi f\;$ a vlnového čísla $k = 2\pi / \lambda\;$, kde $\hbar$ je redukovaná Planckova konstanta získat vztahy

$E=\hbar \omega$

$\mathbf{p}=\hbar \mathbf{k}\;$.

Schrödinger vyšel z předpokladu, že pohyb částice můžeme spojovat s de Broglieho vlnou. Vlnu šířící se ve směru osy x lze popsat vlnovou rovnicí, jejíž řešení lze vyjádřit jako

$\Psi = A\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega\left(t-\frac{x}{v}\right)}$,

kde $\omega$ je úhlová frekvence, $v$ je fázová rychlost a $A$ je integrační konstanta. Toto řešení lze také přepsat do tvaru

$\Psi = A\mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\left(Et-px\right)}$.

Tento vztah popisuje částici s celkovou energií $E$ a hybností $p$, která se pohybuje ve směru osy x. Označujeme ji také jako vlnovou funkci volné částice. Tento vztah však také představuje řešení Schrödingerovy rovnice, jejíž tvar z něj můžeme získat.

Celkovou energii (nerelativistické) částice v potenciálním poli lze zapsat jako

$E = E_k + E_p = \frac{p^2}{2m}+V$,

kde $E_k$ je kinetická energie částice, $V=E_p$ je potenciální energie částice (v kvantové mechanice je zvykem potenciální energii značit jako V, kinetickou energii jako T), $p$ je hybnost a $m$ je hmotnost částice.

Derivací vlnové funkce volné částice získáme následující vztahy

$\frac{\part^2\Psi}{\part x^2} = -\frac{p^2}{\hbar^2}\Psi$

$\frac{\part\Psi}{\part t} = -\mathrm{i}\frac{E}{\hbar}\Psi$.

Dosazením do výrazu pro celkovou energii získáme

$E\Psi = \mathrm{i}\hbar\frac{\part\Psi}{\part t} = \frac{p^2}{2m}\Psi + V\Psi = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\part^2\Psi}{\part x^2} + V\Psi$.

Časově závislý tvar jednorozměrné Schrödingerovy rovnice lze tedy zapsat jako

$\mathrm{i}\hbar\frac{\part\Psi}{\part t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\part^2\Psi}{\part x^2} +V\Psi$.

V trojrozměrném prostoru má časová Schrödingerova rovnice tvar

$\mathrm{i}\hbar\frac{\part\Psi}{\part t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\Psi + V\Psi$,

kde $\Delta$ je Laplaceův operátor.

Schrödinger pomocí této rovnice spočítal spektrální čáry vodíku, kdy popsal elektron jako vlnu nacházející se v potenciálové jámě vytvořené protonem (tedy jádrem atomu). Tento výpočet souhlasil s experimenty, výsledky Bohrova modelu atomu a také s maticovou mechanikou Wernera Heisenberga, přičemž Schrödinger nepotřeboval uvažovat s nekomutativností pozorovatelných, jak tomu bylo právě v maticové mechanice. Schrödinger svou práci o vlnové funkci a spektrálních čarách publikoval v roce 1926.

Schrödingerova rovnice určuje chování vlnové funkce, avšak neurčuje, co vlastně vlnová funkce je. Interpretaci vlnové funkce jako amplitudy pravděpodobnosti předložil v roce 1926 Max Born.

Obecné vyjádření

V obecném tvaru se Schrödingerova rovnice zapisuje jako

$\hat{H}(t)\Psi(\mathbf{r},t) = \mathrm{i}\hbar\frac{\part\Psi(\mathbf{r},t)}{\part t}$,

kde $\hat{H}$ je časově závislý hamiltonův operátor (hamiltonián) popisující pohyb částice v časově závislých vnějších polích. Ten vyjadřuje ve formě operátoru celkovou energii částice jako součet kinetické a potenciální energie. Výraz na pravé straně vyjadřuje časovou změnu vlnové funkce. Tato obecná Schrödingerova rovnice bývá také označována jako časová nebo nestacionární.

Obecné nestacionární řešení časové Schrödingerovy rovnice s časově nezávislým hamiltoniánem lze vyjádřit prostřednictvím rozvoje do ortonormálních stacionárních stavů, tzn.

$\Psi(\mathbf{r},t) = \sum_n c_n\psi_n(\mathbf{r})\mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}E_nt}$,

kde $c_n$ jsou časově nezávislá komplexní čísla určená počáteční podmínkou $\Psi(\mathbf{r},t=t_0)$. Střední hodnota energie těchto stavů je na čase nezávislá.

Stacionární Schrödingerova rovnice

Zvláštním případem Schrödingerovy rovnice je tzv. stacionární (bezčasová nebo nečasová) Schrödingerova rovnice, kterou lze získat za předpokladu, že vývoj systému je popsán Schrödingerovou rovnicí, v níž je $\hat{H}$ časově nezávislý hamiltonián popisující pohyb částice v časově nezávislých vnějších polích.

V takovém případě lze provést separaci proměnných a hledat vlnovou funkci ve tvaru

$\Psi(\mathbf{r},t) = \psi(\mathbf{r})\varphi(t)$.

S tímto předpokladem dostaneme po dosazení do Schrödingerovy rovnice:

$\mathrm{i}\hbar\frac{\frac{\mathrm{d}\varphi(t)}{\mathrm{d}t}}{\varphi(t)} = \frac{\hat{H}\psi(\mathbf{r})}{\psi(\mathbf{r})}$.

Obě strany výsledné rovnice se musí rovnat konstantě, kterou označíme $E$. Tato konstanta má rozměr energie. Za uvedených předpokladů tak dostáváme dvě rovnice, přičemž první z nich se označuje jako stacionární Schrödingerova rovnice

$\hat{H}\psi(\mathbf{r}) = E\psi(\mathbf{r})$

$\mathrm{i}\hbar\frac{\mathrm{d}\varphi(t)}{\mathrm{d}t} = E\varphi(t)$.

Rozepsáním hamiltoniánu lze získat:

$\Delta\Psi + \frac{2m}{\hbar^2}(E-V)\Psi = 0$.

Vzhledem k tomu, že časově nezávislý hamiltonián se vyskytuje např. u popisu chování elektronu v atomu, představuje stacionární Schrödingerova rovnice velmi významnou rovnici kvantové mechaniky.

Stacionární stav

Podle stacionární rovnice jsou energie $E$ vlastními čísly hamiltoniánu $\hat{H}$ (hovoří se též o vlastních energiích). K určení vlastních energií lze integrovat druhou rovnici, čímž získáme

$\varphi_n(t) = N\mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}E_nt}$,

kde $N$ je normovací konstanta, kterou lze obvykle položit $N=1$.

Stavy s vlastními energiemi $E_n$ lze tedy popsat vlnovými funkcemi

$\Psi_n(\mathbf{r},t) = \psi_n(\mathbf{r})\mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}E_nt}$.

Takové stavy se označují jako stacionární stavy. Stacionární stavy jsou zvláštností kvantové fyziky. V klasické mechanice se sice také vyskytují (např. nehybný hmotný bod), jedná se však vždy o případy z hlediska klasické mechaniky nezajímavé.

Hustota pravděpodobnosti stacionárního stavu na čase nezávisí, tzn.

${\left|\Psi_n(\mathbf{r},t)\right|}^2 = {\left|\psi_n(\mathbf{r})\right|}^2$.

Střední hodnota libovolného časově nezávislého operátoru $\hat{A}$ ve stacionárních stavech $\Psi_n$ nezávisí na čase, tedy

$\langle\hat{A}\rangle_n = \int \Psi_n^\star(\mathbf{r},t)\hat{A}\Psi_n(\mathbf{r},t)\mathrm{d}V = \int \psi_n^\star(\mathbf{r})\hat{A}\psi_n(\mathbf{r})\mathrm{d}V$.

Pro stacionární stavy je také hustota toku pravděpodobnosti $j$ nezávislá na čase.

Vlastnosti

Protože Schrödingerova rovnice obsahuje na jedné straně první parciální derivace vlnové funkce podle času a na druhé straně druhé derivace podle prostorových souřadnic (Laplaceův operátor), není tato rovnice invariantní vůči Lorentzově transformaci. Není tedy v souladu se speciální teorií relativity. Nejedná se tedy o relativistickou rovnici. Relativistickou obdobou Schrödingerovy rovnice jsou např. Diracova rovnice nebo Kleinova-Gordonova rovnice.

Schrödingerova rovnice umožňuje jednoduše formulovat a vyřešit v kvantové mechanice problémy jako lineární harmonický oscilátor, částice v potenciálové jámě nebo vodíku podobný atom. Vysvětluje stabilitu atomů, která byla pro klasickou fyziku záhadou. Umožnila pevné propojení fyziky s chemií, protože vysvětlila nejen ionizační energie prvků, ale i různorodost jejich chemického chování pomocí orbitalů tvořících atomový obal. Tyto poznatky umožnily vysvětlit čáry ve spektru zářících těles a pochopit tak stavbu a vývoj hvězd analýzou jejich světla.

Související články

• Vlnová rovnice
• Kvantové číslo
• Diracova rovnice
• Kleinova-Gordonova rovnice
• Schrödingerova kočka

Externí odkazy

• (česky) Nestacionární Schödingerova rovnice
• (anglicky)  Schrödingerova rovnice v encyklopedii MathWorld