Ordinální číslo

V teorii množin je ordinální číslo zobecněním myšlenky pořadí prvku v uspořádané množině, jež je v přirozeném jazyce vyjádřena řadovou číslovkou jako „první“ či „pátý“. Pojem ordinálního čísla myšlenku zobecňuje i na nekonečné uspořádané množiny.

Matematická definice

Množina a je ordinální číslo (jinak také ordinál), pokud je ostře dobře uspořádaná vzhledem k relaci „býti prvkem“ a je tranzitivní (každý prvek každého jejího prvku je zároveň i její podmnožinou):
$(\forall c)(c\in b\in a\implies c\subseteq a)$

Vysvětlení a příklady

Prázdná množina $\emptyset$ je rozhodně ordinál – je dobře uspořádaná a každý její prvek (žádné totiž nemá) je i její podmnožinou. V dalším textu ji budeme (ne náhodou) označovat jako 0. Množina $1=\{\emptyset \}$ je rovněž ordinál.

Každý si může sám snadno vyzkoušet, že i následující množiny jsou ordinály:

$2=1\cup \{1\}=\{0,1\}=\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}$

$3=2\cup \{2\}=\{0,1,2\}=\{\emptyset ,\{\emptyset \},\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}\}$

$4=3\cup \{3\}=\{0,1,2,3\}=\{\emptyset ,\{\emptyset \},\{\emptyset ,\{\emptyset \}\},\{\emptyset ,\{\emptyset \},\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}\}\}$

Naproti tomu množina $\{\{\{\{\emptyset \}\}\}\}\,\!$ není ordinál – prvek $\emptyset$ není totiž její podmnožinou.

Vypadá to tedy, že ordinály se nápadně shodují s tím, co v teorii množin rozumíme pod pojmem přirozená čísla – podrobnosti lze najít zde. Opravdu je to tak – přirozená čísla jsou konečné ordinály.

Na něco takového by ale rozhodně nebyla třeba tak nepřehledná a na první pohled nesrozumitelná definice – otázka tedy zní, zda existují i další ordinály.

Podívejme se například na množinu všech přirozených čísel:

$\omega =\{0,1,2,3,...\}\,\!$

Tato množina je dobře uspořádaná (vždycky najdu nejmenší prvek) a každý její prvek je i její podmnožinou – to je dáno tím, jak jsme nadefinovali jednotlivá čísla. To znamená, že množina všech přirozených čísel je ordinál a přitom rozhodně není konečná – získáváme první nekonečný ordinál.

Aby toho nebylo málo, můžeme v konstrukci ordinálů pokračovat:

označme $\omega \mathrm {+1} =\omega \cup \{\omega \}=\{0,1,2,...,\omega \}$ – a máme opět ordinál (obsahuje jako prvky všechna přirozená čísla a navrch ještě jeden prvek – samotnou množinu přirozených čísel).

Stejným způsobem můžeme pokračovat v konstrukci dalších nekonečných ordinálů:

$\omega \mathrm {+2} ,\,\omega \mathrm {+3} ,\,...,\,\omega \mathrm {+} \omega ,\,\omega \mathrm {+} \omega \mathrm {+1} ,\,...,\,\omega \mathrm {+} \omega \mathrm {+} \omega ,\,...\,\!$

Ordinální aritmetika

Ordinály tedy tvoří nekonečnou posloupnost, která je „mnohem nekonečnější“ než přirozená čísla, ale v mnohém se jim podobá. Stejně jako na přirozených číslech, jsou i na ordinálech definovány základní aritmetické operace, jako je sčítání, odčítání, násobení, mocnění a podobně. Na přirozených číslech se ordinální +, − a · shoduje s běžným sčítáním, odčítáním a násobením. Zajímavější to začíná být ve chvíli, kdy se pokouším sčítat nekonečná čísla s konečnými – platí například, že

$1\;+\;\omega =\omega <\omega \mathrm {+1} ,\,\!$

$\omega =2\;\cdot \;\omega <\omega \mathrm {+} \omega =\omega \;\cdot \;2.\,\!$

Podrobnosti lze najít v samostatném článku Ordinální aritmetika.

Proč se zabývat ordinálními čísly

Podle poměrně snadno dokazatelné věty je každá dobře uspořádaná množina izomorfní s některým ordinálem. To znamená, že má v podstatě stejnou strukturu, jako některý ordinál – Georg Cantor ostatně původně definoval ordinály ve svém intuitivním pojetí teorie množin jako „typy všech dobře uspořádaných množin“.

Pokud by se mi každou myslitelnou množinu podařilo dobře uspořádat, tak jí mohu následně přiřadit některý ordinál, který je jí (z hlediska izomorfismu) „velice podobný“ – ordinály by tvořily jakousi páteř celé teorie množin a zkoumání vztahů mezi množinami bych mohl v podstatě omezit na ordinály a množiny, které z nich vzniknou běžnými množinovými operacemi.

Na otázku, zda lze každou množinu dobře uspořádat, odpovídá kladně axiom výběru (resp. tvrzení známé jako princip dobrého uspořádání, který je s tímto axiomem ekvivalentní) – pokud ho přijmu, stává se ze světa teorie množin něco velice přehledného, pokud ho odmítnu, zůstávají v tomto světě „temné kouty“, ve kterých mohou, ale nemusí, existovat ošklivé množiny, které nelze dobře uspořádat a nemají tedy s ordinály vůbec nic společného.

Ordinály a kardinály

Mezi ordinály existují zvláštní případy – ordinály, které nemohu vzájemně jednoznačně zobrazit na žádný menší ordinál. Těmto ordinálům se říká kardinální čísla nebo také kardinály.
Kardinály mají svoji vlastní kardinální aritmetiku a podrobnosti o nich lze najít v samostatném článku.

Zde jenom podotkněme, že:

• každý konečný ordinál je kardinál
• množina všech přirozených čísel $\omega _{0}\,\!$ je kardinál (nejmenší nekonečný)
• existuje nekonečně mnoho nekonečných kardinálů

Reference

• Uspořádané množiny, přirozená čísla, Doc. Dr. Vladimír Homola, Ph.D.
• Úvod do matematické logiky, Doc. RNDr. Tomáš Kaiser, Ph.D.

Související články

• Zermelova–Fraenkelova teorie množin
• Kardinální číslo
• Transfinitní indukce
• Burali-Fortiho paradox
• Axiom výběru
• Princip dobrého uspořádání
• Ordinální aritmetika

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu ordinální číslo na Wikimedia Commons

Autoritní data	NKC: ph123784 PSH: 7142 GND: 4172728-9 LCCN: sh85093216 NLI: 987007538748305171

Portály: Matematika