Burali-Fortiho paradox
Burali-Fortiho paradox je poznatek publikovaný roku 1897, který spolu s dalšími výsledky podobného typu (označovanými jako paradoxy nebo antinomie) vedl ke krizi klasické naivní teorie množin a jejímu následnému nahrazení axiomatickým systémem. Burali-Fortiho paradox se týká ordinálních čísel.
Podstata paradoxu[editovat | editovat zdroj]
Podle definice je ordinální číslo každá množina, která je ostře dobře uspořádána relací "býti prvkem" a navíc každý její prvek je zároveň její podmnožinou.
Uvažujme nyní na chvilku o množině , která obsahuje všechna ordinální čísla. Taková množina je určitě ostře dobře uspořádaná relací a navíc každý svůj prvek – ordinální číslo – obsahuje určitě i jako podmnožinu. To ovšem znamená, že je sama také ordinální číslo, které je větší než všechna ordinální čísla a tedy i než ona sama. To je ale samozřejmě nesmysl.
Řešení paradoxu[editovat | editovat zdroj]
V době publikování byl Burali-Fortiho výsledek často zlehčován s tím, že se jedná o „příliš velkou“ množinu – na „rozumných“ množinách k něčemu podobnému docházet nemůže. Proto se také vžilo označení paradox, ačkoliv ve skutečnosti se jednalo o spor v klasické definici množiny jako „souboru objektů (prvků) vymezených pomocí operace náležení“.
Teprve později, společně s dalšími „paradoxy“, z nichž jako nejdůležitější se ukázal Russellův paradox, vedl tento výsledek ke kompletnímu přepracování základů teorie množin na axiomatickém základě – viz Zermelova–Fraenkelova teorie množin.
V axiomatické teorii množin se mi již žádným způsobem nepodaří zkonstruovat výše uvedenou množinu – Burali-Fortiho výsledek je vlastně důkazem toho, že není množina, ale vlastní třída.