Arkus sinus

Arkus sinus je cyklometrická funkce. Jde o inverzní funkci ke goniometrické funkci sinus.

Vlastnosti

• Funkce je:
  • lichá
  • ostře rostoucí na celém svém definičním oboru
• Definiční obor: $\langle -1,1\rangle$
• Obor hodnot: $\textstyle \left\langle -{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right\rangle$
• Derivace: $\operatorname {arcsin} '(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
• Taylorův polynom:

${\begin{aligned}\operatorname {arcsin} (x)&=x+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\cdot {\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\cdot {\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\cdot {\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}\right),\quad \left|z\right|<1\end{aligned}}$

• Inverzní funkce: sinus
• Graf:
  • Vznikne překlopením grafu funkce $y=\sin(x)$ podle osy I. a III. kvadrantu.
  • Bereme pouze interval kolem počátku, na kterém je funkce $\sin(x)$ prostá, tedy v tomto případě rostoucí.
  • Interval $\textstyle \left\langle -{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right\rangle$ z definičního oboru sinu se stane oborem hodnot funkce $x=\mathrm {arcsin} (y)$.
  • Obdobně obor hodnot sinu se naopak stane definičním oborem arkus sinu.

Graf funkce arkus sinus.