Mercatorovo zobrazení

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Mercatorovo zobrazení světa po 86. stupeň severní a jižní zeměpisné šířky
Tissotova indikatrix (pomůcka znázorňující plošné a délkové zkreslení) Mercatorova zobrazení
Určení parametrů v rovnicích koule: parametr u odpovídá projekci průvodiče r do roviny os x a y, parametr v odpovídá úhlu \phi a úhel \omega představuje úhel \theta.

Mercatorovo zobrazení je druh úhlojevného válcového mapového zobrazení, které navrhl roku 1569 vlámský kartograf Gerhard Mercator (15121594). Používá se zejména na námořních a leteckých navigačních mapách.

Základem zobrazení je válec v normální poloze (tedy rovnoběžný se zemskou osou), dotýkající se glóbu na rovníku. Po zobrazení povrchu koule na válec a po rozvinutí pláště válce do roviny vznikne pravoúhlá síť poledníků a rovnoběžek. Poledníky jsou zobrazeny ve stejných rozestupech, zatímco vzájemná vzdálenost rovnoběžek směrem k pólům vzrůstá do nekonečna. Protože se válec po celém obvodu rovníku glóbu dotýká, je zobrazení rovníku délkojevné. Totéž už neplatí o ostatních rovnoběžkách, které jsou znázorněny jako úsečky stejné délky – čím blíže k pólům, tím je tedy zkreslení v délce (a ploše) větší. Proto nelze Mercatorovo zobrazení vůbec použít při tvorbě map polárních oblastí nad 86. stupeň zeměpisné šířky. Naopak v rovníkových oblastech, přibližně mezi 15. stupněm severní a jižní zeměpisné šířky, je délková a plošná nepřesnost vcelku zanedbatelná.

Protože na Mercatorových mapách se loxodroma (čára protínající poledníky pod stálým úhlem) jeví jako přímka, jsou takové mapy velmi vhodnou pomůckou pro jednoduché udržování stálého směru plavby či letu, v dobách před zavedením družicové navigace téměř nepostradatelnou. Naproti tomu se toto zobrazení kvůli extrémnímu zkreslení polárních oblastí nehodí pro přehledné mapy světa. Pro představu: ostrov Grónsko (2,2 mil. km²) se jeví zhruba stejně velký jako celá Afrika (30,3 mil. km²). I přes tento nedostatek používá toto zobrazení mapový server googlemaps a to zejména z toho důvodu, že při zvětšování určité oblasti při správné volbě měřítka zkreslení klesá (zobrazení zachovává tvar malých objektů).

Matematicky, máme-li parametry (viz obr.) u, v takové, že parametrické rovnice koule o poloměru r v nich nabývají tvaru x = u\cos{v}, y = u\sin{v}, z = \sqrt{r^2-u^2}, potom konformní zobrazení koule na rovinu, dané jako x = v, y = \int {\frac{1}{\sin{\omega}}} \,\mathrm{d}\omega = \ln \mbox{tg }\frac{\omega}{2} + c, kde x, y představují pravoúhlé souřadnice na rovině a \frac{u}{r} = \sin{\omega}, nazýváme Mercatorovým zobrazením. Toto zobrazení zobrazuje rovnoběžky, resp. poledníky na kouli do rovnoběžek s osou X, resp. Y na rovině. Koule je tedy zobrazena do (vertikálního) pásu v rovině, jehož šířka je 2\pi. S tím souvisí zmiňované problémy se zkreslením v okolí pólů. Vzhledem k tomu, že jednomu bodu na kouli můžeme přiřadit nekonečně mnoho hodnot parametru v + 2k\pi, kde k je libovolné celé číslo, zobrazujeme daný bod koule do bodů na rovině, jejichž x-ové souřadnice se liší právě o 2k\pi. Takové zobrazení je tedy vzájemně jednoznačné (tj. jednomu bodu na kouli odpovídá přesně jeden bod v rovině) jen v dostatečně blízkém okolí zkoumaného bodu. Dvěma body a, b na kouli, které neleží na stejné rovnoběžce, prochází nekonečně mnoho loxodrom. Po zobrazení na rovinu těmto loxodromám odpovídají všechny přímky procházející všemi obrazy bodů a, b (obrazů je díky zmiňovaným posunům v x-ové ose také nekonečně mnoho), nebo přesněji úsečky vytínané těmito přímkami na pásu odpovídajícímu obrazu koule.

Převodní vztahy[editovat | editovat zdroj]

Máme-li souřadnice mapy x a y, přičemž počátek souřadnic na mapě odpovídá průsečíku nultého poledníku a rovníku, pak pro tyto souřadnice platí

x=R\varphi

y=R\operatorname{arctgh} \sin \vartheta,

kde \vartheta je zeměpisná šířka a \varphi zeměpisná délka.


Známe-li naopak polohu objektu na mapě a chceme určit jeho souřadnice, pak platí:

\varphi = \frac{x}{R}

\vartheta = \arcsin \operatorname{tgh} \, \frac{y}{R}

Mapa je přitom v měřítku 1:1, R značí poloměr Země.

Velikou výhodou tohoto zobrazení je, že lokálně zachovává tvary objektů. Rozměrové zkreslení je totiž v rovnoběžkovém a poledníkovém směru stejné a je rovno:

f=\frac{1}{\cos \vartheta}

Např. velikost České republiky je pak o 56 % procent větší, než kdyby ležela na rovníku.