Loxodroma

Příklad loxodromy na povrchu Země

Loxodroma je křivka na referenční ploše (např. na sférickém povrchu Země), která protíná všechny poledníky pod stejným úhlem.

V úhlojevných mapách Země v Mercatorově zobrazení mají loxodromy charakter přímek. Mapu světa, sestrojenou v tomto zobrazení, uveřejnil v roce 1569 Gerhard Mercator (1512–1594). Název „loxodroma“ pochází od holanského učence Willebrorda Snellia (1581–1626).

Přestože loxodroma není nejkratší spojnicí dvou míst na referenční ploše, byly loxodromické cesty v minulosti využívány při námořní plavbě. Pro svou jednoduchost jsou loxodromické cesty používány i dnes v námořní a v letecké navigaci. Loxodromická cesta se shoduje s ortodromickou pouze ve směru po polednících a ve směru po rovníku. V tom případě je loxodroma nejkratší spojnicí dvou míst na referenční ploše. Do vzdálenosti 800–1000 km je rozdíl mezi loxodromou a ortodromou zanedbatelný.

V dnešní době díky rozvoji moderní navigační techniky (GPS apod.) význam loxodromy klesá.

Matematický popis

Budeme uvažovat dva body na sféře poloměru $R$, jejichž poloha je udána ve sférických souřadnicích. Našim cílem bude najít azimut loxodromy (ten je dle definice pro celou křivku stejný) a délku této křivky. Sférické souřadnice označme $\vartheta$ a $\varphi$, přičemž první z nich je zeměpisná šířka, druhá délka. Rovníku tedy odpovídá $\vartheta = 0$.

Odvození azimutu

Je zřejmé, že délka malého elementu ve směru jih-sever je $R\,{\mathrm d}\vartheta$, zatím co ve směru západ-východ $R\cos \vartheta \,{\mathrm d}\varphi$. Azimut (úhel vůči severu) $\alpha$ je pak tedy dán takto:

$\operatorname{tg}\, \alpha = \frac{R\cos \vartheta \,{\mathrm d}\varphi}{R \,{\mathrm d}\vartheta}$

Tento vztah upravíme na tvar vhodný k integraci

${\mathrm d}\varphi = \frac{\operatorname{tg}\, \alpha}{\cos \vartheta} \,{\mathrm d}\vartheta$.

Přitom dle definice loxodromy je $\alpha$ konstantní. Integrováním od $\vartheta_1$ do $\vartheta_2$ získáme změnu $\varphi$ mezi těmito body. Přitom předpokládáme, že $\vartheta_1 \ne \vartheta_2$.

$\varphi_2 - \varphi_1 = \operatorname{tg}\, \alpha (\operatorname{arctgh}\, \sin \vartheta_2 - \operatorname{arctgh}\, \sin \vartheta_1)$

Byl tedy získán vztah pro azimut loxodromy:

$\operatorname{tg}\,\alpha = \frac{\varphi_2 - \varphi_1}{ \operatorname{arctgh}\, \sin \vartheta_2 - \operatorname{arctgh}\, \sin \vartheta_1}$

Poznamenejme, že transformační vztahy pro Mercatorovo zobrazení jsou:

$x=R\, \varphi$

$y=R\, \operatorname{arctgh}\, \sin \vartheta$

Spojíme-li na mapě dva body pravítkem, pak zřejmě jejich spojnice má na mapě azimut

$\operatorname{tg}\,\alpha = \frac{x_2 - x_1}{y_2 - y_1}$,

což je přesně stejná hodnota, jaká byla odvozena předchozím výpočtem. Loxodromy jsou tedy opravdu na mapách s touto projekcí přímky. Můžeme uvažovat i obráceně a předchozí výpočet považovat za odvození Mercatorovy projekce, tedy projekce, kde jsou loxodromy přímky.

Délka loxodromy

Nyní ještě určíme její délku. Vyjdeme přitom z Pythagorovy věty, kterou určíme délku výsledného elementu dráhy, když došlo k pohybu jak ve směru jih-sever, tak západ-východ.

${\mathrm d}s = R\sqrt{{\mathrm d}\vartheta^2 + \cos^2 \vartheta {\mathrm d}\varphi^2}$

Dosadíme-li za $\cos \vartheta \,{\mathrm d}\varphi$ z předem odvozeného vztahu pro azimut, dostaneme:

${\mathrm d}s = R\sqrt{{\mathrm d}\vartheta^2 + \tan^2 \alpha \,{\mathrm d}\vartheta^2} = R \frac{|{\mathrm d}\vartheta|}{|\cos \alpha|}$

Integrace je tedy triviální. Délka loxodromy je

$s=R \frac{|\vartheta_2 - \vartheta_1|}{|\cos \alpha|}$,

kde za azimut $\alpha$ dosadíme z předem odvozeného vztahu

Odkazy

Externí odkazy

• O loxodromě na gis.zcu.cz