Jehlan: Porovnání verzí

← Přejít na předchozí porovnání Přejít na další porovnání →

Smazaný obsah Přidaný obsah

V textu

Verze z 17. 9. 2018, 11:52

Jehlan je trojrozměrné těleso. Jeho základnu (nebo také podstavu) tvoří mnohoúhelník. Vrcholy základny jsou spojeny s jedním bodem mimo rovinu základny – tento bod se obvykle nazývá (hlavní) vrchol jehlanu.

Kolmá vzdálenost vrcholu od roviny podstavy se nazývá výška jehlanu.

Obecné vlastnosti

Objem a povrch

Objem jehlanu se vypočítá jako

V={\frac {S_{p}.v}{3}}\,\!

,

kde $S_{p}\,\!$ je obsah podstavy a $v\,\!$ výška.

Povrch jehlanu se vypočítává jako součet obsahu základny a obsahu jednotlivých trojúhelníkových stěn - jejich počet je dán počtem stran základny.

S=P+Q\,

,

kde $P$ je obsah podstavy a $Q$ je obsah pláště.

Na výše uvedených vzorcích je zajímavé, že pokud budu vrchol jehlanu posunovat v rovině rovnoběžné s rovinou základny, nemění se objem (obsah podstavy i výška zůstávají stejné), ale pouze povrch - ten může při posouvání vrcholu „dostatečně daleko“ v dané rovině růst nad všechny meze.

Souměrnost

Jehlan nemůže nikdy být středově souměrný.

Jehlan je osově souměrný pouze tehdy, je-li základna středově souměrná a průmět vrcholu jehlanu do roviny základny je shodný se středem souměrnosti základny (laičtěji: vrchol jehlanu musí ležet „kolmo nad středem souměrnosti základny“.). Osou souměrnosti je v takovém případě spojnice vrcholu se středem souměrnosti základny.

Jehlan může být rovinově souměrný pouze tehdy, je-li základna osově souměrná a průmět vrcholu jehlanu do roviny základny leží na ose souměrnosti základny. (Lidštěji: vrchol jehlanu musí ležet „kolmo nad osou souměrnosti základny“.) Rovinou souměrnosti je v takovém případě rovina určená osou souměrnosti základny a vrcholem jehlanu.

Další vlastnosti

Pokud tvoří základnu jehlanu mnohoúhelník o $n\,\!$ stranách, má jehlan:

celkem $n+1\,\!$ vrcholů
celkem $2\cdot n\,\!$ hran
celkem $n+1\,\!$ stěn

Jehlan nemá tělesové úhlopříčky, stěnové mohou být jen v základně (pro n větší než 3). Jehlan je konvexní jen tehdy, je-li konvexní jeho základna.

Speciální případy

Pokud je základnou jehlanu pravidelný mnohoúhelník a vrchol leží kolmo nad těžištěm základny, mluvíme o pravidelném jehlanu. „Pravidelnost“ jehlanu obvykle podstatně zjednodušuje výpočet jeho objemu a povrchu.

Pravidelný čtyřstěn

Pravidelný čtyřstěn je jehlan, jehož základnu i všechny tři boční stěny jsou rovnostranné trojúhelníky. Tento čtyřstěn má stejný tvar všech stěn i délku všech hran - jedná se tedy o jedno z platónských těles.

Jeho objem $V\,\!$ a obsah $S\,\!$ lze vypočítat z délky jeho hrany:

$S=a^{2}{\sqrt {3}}\,\!$
$V={\begin{matrix}{{\sqrt {2}} \over 12}\end{matrix}}a^{3}\,\!$

Jeho výšku lze vypočítat jako $v=(a/3){\sqrt {6}}$ .

Pravidelný čtyřboký jehlan

Pokud má jehlan čtvercovou základnu a vrchol kolmo nad průsečíkem úhlopříček základny, hovoříme o pravidelném čtyřbokém jehlanu.

Jeho objem $V\,\!$ a povrch $S\,\!$ lze vypočítat z délky strany základny $a\,\!$ a výšky $v\,\!$ :

$V={\frac {1}{3}}a^{2}v\,\!$
$S=a^{2}+2av{\sqrt {1+{\frac {a}{4v}}^{2}}}\,\!$

Vícerozměrná geometrická tělesa
d=2	trojúhelník	čtverec	šestiúhelník	pětiúhelník
d=3	jehlan	krychle, oktaedr	krychloktaedr, kosočtevečný dvanáctistěn	dvanáctistěn, dvacetistěn
d=4	5-nadstěn	teserakt, 16-nadstěn	24-nadstěn	120-nadstěn,600-nadstěn
d=5	5-simplex	penterakt, 5-ortoplex
d=6	6-simplex	hexerakt, 6-ortoplex
d=7	7-simplex	hepterakt, 7-ortoplex
d=8	8-simplex	okterakt, 8-ortoplex
d=9	9-simplex	ennerakt, 9-ortoplex
d=10	10-simplex	dekerakt, 10-ortoplex
d=11	11-simplex	hendekerakt, 11-ortoplex
d=12	12-simplex	dodekerakt, 12-ortoplex
d=13	13-simplex	triskaidekerakt, 13-ortoplex
d=14	14-simplex	tetradekerakt, 14-ortoplex
d=15	15-simplex	pentadekerakt, 15-ortoplex
d=16	16-simplex	hexadekerakt, 16-ortoplex
d=17	17-simplex	heptadekerakt, 17-ortoplex
d=18	18-simplex	oktadekerakt, 18-ortoplex
d=19	19-simplex	ennedekerakt, 19-ortoplex
d=20	20-simplex	ikosarakt, 20-ortoplex

Literatura

Karel Rektorys a kolektiv: Přehled užité matematiky I, Prometheus, Praha 1995, ISBN 80-85849-92-5, str. 104-106
Marcela Palková a kolektiv: Průvodce matematikou 2, Didaktis, Brno 2007, ISBN 978-80-7358-083-4, str. 117-120

Související články

Externí odkazy

Obrázky, zvuky či videa k tématu jehlan na Wikimedia Commons
Slovníkové heslo jehlan ve Wikislovníku

@@ Řádek 42: / Řádek 42: @@
 Jeho objem <math> V \,\! </math> a obsah <math> S \,\! </math> lze vypočítat z délky jeho hrany:<br />
 * <math>S=a^2\sqrt{3} \,\!</math>
-* <math>V=\begin{matrix}{1\over12}\end{matrix}a^3\sqrt{2} \,\!</math>
+* <math>V=\begin{matrix}{\sqrt{2}\over12}\end{matrix}a^3 \,\!</math>
 Jeho výšku lze vypočítat jako <math>v=(a/3) \sqrt{6}</math> .
@@ Řádek 51: / Řádek 51: @@
 Jeho objem <math> V \,\! </math> a povrch <math> S \,\! </math> lze vypočítat z délky strany základny <math> a \,\! </math> a výšky <math> v \,\! </math>:<br />
-* <math> V = \frac{1}{3} abv\,\! </math>
+* <math> V = \frac{1}{3} a^2v\,\! </math>
-* <math> S = ab + aw_1 + bw_2 \,\! </math>
+* <math> S = a^2 + 2av\sqrt{1+\frac{a}{4v}^2}  \,\! </math>
 {| class="wikitable"