Platónské těleso

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

V geometrii je Platónské těleso pravidelný konvexní mnohostěn (polyedr) v prostoru, tj. z každého vrcholu vychází stejný počet hran[1] a všechny stěny tvoří shodné pravidelné mnohoúhelníky.

Zde je ukázka všech pěti Platónských těles:

Čtyřstěn Krychle
(nebo Pravidelný Šestistěn)
Osmistěn Dvanáctistěn Dvacetistěn
Tetrahedron.svg

(Animace)

Hexahedron.svg

(Animace)

Octahedron.svg

(Animace)

POV-Ray-Dodecahedron.svg

(Animace)

Icosahedron.svg

(Animace)

Tabulka vlastností platónských těles[editovat | editovat zdroj]

Platónských těles existuje v trojrozměrném euklidovském prostoru právě pět a jsou to:

název obrázek počet stěn počet hran počet vrcholů typ stěny počet hran u vrcholu povrch (hrana délky a) objem (hrana délky a) živel
pravidelný čtyřstěn (tetraedr) Tetrahedron

(animace)

4 6 4 trojúhelník 3 \sqrt{3}a^2 \frac{\sqrt{2}}{12}a^3 Oheň
krychle (pravidelný šestistěn, hexaedr) Hexahedron (cube)

(animace)

6 12 8 čtverec 3 6a^2 a^3 Země
pravidelný osmistěn (oktaedr) Octahedron
(animace)
8 12 6 trojúhelník 4 2\sqrt{3}a^2 \frac{\sqrt{2}}{3}a^3 Vzduch
pravidelný dvanáctistěn (dodekaedr) Dodecahedron

(animace)

12 30 20 pětiúhelník 3 3\sqrt{25+10\sqrt{5}}a^2 \frac{1}{4}(15+7\sqrt{5})a^3 Kvintesence / Vesmír
pravidelný dvacetistěn (ikosaedr) Icosahedron

(animace)

20 30 12 trojúhelník 5 5\sqrt{3}a^2 \frac{5}{12}(3+\sqrt{5})a^3 Voda

Dualismus[editovat | editovat zdroj]

Při pohledu na tabulku je nápadné, že zatím co např. krychle má 8 vrcholů a 6 stěn, u osmistěnu je tomu právě naopak. Proto je krychle duální k osmistěnu. Podobně je dvanáctistěn duální k dvacetistěnu (20 vrcholů, 12 stěn a naopak). Čtyřstěn je duální sám k sobě (má 4 vrcholy a 4 stěny).

Historie[editovat | editovat zdroj]

Platónská tělesa byla známa již ve starověku. Nazývají se podle řeckého filosofa Platóna (427 – 347 př. n. l.), který krychli, osmistěn, čtyřstěn a dvacetistěn považoval za představitele čtyř základních živlů: země, vzduch, oheň a voda. Dvanáctistěn byl představitelem jsoucna neboli všeho, co existuje.

Euklid sepsal kompletní matematický popis Platonských těles v prvcích, poslední kniha (kniha XIII) je věnována jejich vlastnostem. Propozice 13-17 v knižní XIII popisují stavbu čtyřstěnu, krychle, osmistěnu a dvanáctistěnu a dvacetistěnu v uvedeném pořadí. Pro každé Platonské těleso Euklid našel poměr průměru opsané kružnice s délkou hrany. Tvrdil, že žádné další pravidelné konvexní mnohoúhelníky neexistují.

Johannes Kepler se pokusil mezi šest tehdy známých planet vložit těchto pět platónských těles. Mezi Merkur a Venuši dal osmistěn, mezi Venuši a Zemi dvacetistěn, mezi Zemi a Mars dvanáctistěn, mezi Mars a Jupiter čtyřstěn a mezi Jupiter a Saturn krychli. Tato tělesa měla představovat vzdálenosti mezi jednotlivými planetami.

Přírodní vědy[editovat | editovat zdroj]

Vzhledem k vysoké symetrii se platónská tělesa objevují běžně v současné krystalografii, krystalochemii a molekulární fyzice a chemii. Řada tvarů krystalů s vysokou symetrií krystalové mřížky nabývá forem platónských těles (např. krystaly běžné kuchyňské soli mají tvar krychle, u sfaleritu někdy tvar čtyřstěnu apod.). Také symetrické molekuly mají mnohdy tvar těchto těles: methan má čtyři atomy vodíku ve vrcholech pravidelného čtyřstěnu s uhlíkovým atomem v jeho těžišti, molekula hexafluoridu sírového má tvar pravidelného osmistěnu atp.

Vyšší dimenze[editovat | editovat zdroj]

Pravidelné mnohostěny existují i ve vyšších dimenzích.

Reference[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Platonic solid na anglické Wikipedii.

  1. Ekvivalentní definice říká, že v každém vrcholu se stýká stejný počet stěn.

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]