Naivní teorie množin
Jako naivní teorie množin je dnes označována původní teorie množin vytvořená Georgem Cantorem v druhé polovině 19. století. Název naivní je používán pro zdůraznění protikladu mezi Cantorovým intuitivním pojetím pojmu množina a dnes používanými axiomatickými systémy teorie množin.
Naivní teorie množin se nezabývá přesnou definicí pojmu „množina“, „uspořádaná dvojice“ apod. a pracuje s nimi způsobem, který se učí na základních a středních školách. Pouze odborníci, kteří se věnují matematice do hloubky, potřebují postavit svoje studium na pevném základu a proto pracují s axiomatickou teorií množin.
I přes použité slůvko naivní, které má v případě matematické teorie trochu hanlivý nádech, je Cantorova teorie naprosto dostačující jako množinový základ pro většinu ostatních matematických disciplín a bylo v ní dosaženo mnoha vynikajících výsledků v oblasti zkoumání vlastností nekonečných množin (Cantorova věta, kardinální aritmetika, transfinitní indukce) – což byla ostatně hlavní Cantorova motivace pro její vytvoření.
Problémy nastávají teprve ve chvíli, kdy se naivní teorie množin pokouší pracovat s „příliš velkými“ množinami, jako je potence univerzální množiny v případě Cantorova paradoxu – obdobné je to ostatně i v případě mnohem známějšího Russellova paradoxu. Axiomatická teorie množin na tyto rozpory nachází solidní a konzistentní odpovědi.
Co je množina
[editovat | editovat zdroj]Na otázku, co je to množina, odpovídá naivní teorie množin v podstatě obdobně jako paní učitelka v první třídě základní školy před tabulí plnou magnetických jablek a hrušek:
Množina je dobře definovaný soubor objektů.
Objektem obsaženým v množině může být v tomto pojetí cokoliv – čísla, lidé, jiné množiny atd. Důležité je, aby bylo „dobře definováno“ (nejlépe jazykem matematické logiky), které objekty do konkrétní množiny patří a které ne.
Rovnost a náležení
[editovat | editovat zdroj]Jediným faktem, který hraje roli při práci s množinou v rámci teorie množin, je to, které objekty do ní náležejí. Relace náležení je obvykle značena a znamená „objekt x je prvkem (náleží do) množiny A“.
Pokud přijmeme jako jeden ze způsobů, jak dobře definovat množinu, možnost vyjmenovat všechny její prvky, pak můžeme jako označit čtyřprvkovou množinu, která obsahuje čísla 2, 3, 5 a 7 (tj. , ale ).
Důležité je, že nemá smysl mluvit o tom, kolikrát nebo v jakém pořadí prvky do množiny patří – každý do ní prostě buď patří, nebo nepatří. Vrátíme-li se k , můžeme napsat:
,
ale na druhou stranu
, protože .
Dostáváme se k tomu, co vlastně znamená rovnost dvou množin: Dvě množiny jsou si rovny (nebo také shodné), pokud obsahují stejné prvky, formálně zapsáno:
.
Tato definice rovnosti si našla cestu i do axiomatických teorií množin jako axiom extenzionality.
Vydělení na základě výroku a množinové operace
[editovat | editovat zdroj]Pokud je jakýkoliv výrok s parametrem (například „x je sudé číslo“, „x má slabý magnet“, „x je kamarád kamaráda bývalého poslance PČR za ČSSD“) lze pomocí něj rozdělit všechny myslitelné objekty na dvě části – na množinu těch, které splňují, kterou označíme , a na množinu těch, které jej nesplňují – mluvíme o doplňku množiny .
Možností vydělovat objekty pomocí výroku (opět se této možnosti nevzdaly ani axiomatické systémy – viz schéma axiomů vydělení) získáváme velice silný nástroj, pomocí kterého můžeme definovat všechny běžně známé množinové operace – průnik, sjednocení, doplněk, kartézský součin, potenční množina.
V axiomatické teorii množin, kde je mnohem pečlivěji hlídáno, co je a co není množina, jsou k těmto účelům často zavedeny speciální axiomy, které tyto operace umožňují – viz například axiom sumy nebo axiom potence v článku Zermelova-Fraenkelova teorie množin.
Zajímavosti
[editovat | editovat zdroj]- Cantor při vytváření této teorie byl údajně ovlivněn křesťanskou filosofií novotomismu.[1]
