Symetrická diference

Vennův diagram pro $A\triangle B,$ Symetrický rozdíl množin je Sjednocení bez průsečíku množin $~\setminus ~$ $~=~$

V matematice se jako symetrická diference nebo symetrický rozdíl dvou množin označuje taková množina, která obsahuje všechny prvky z obou množin, které nejsou v jejich průniku. Symetrická diference množin A a B se značí jako

$A\,\triangle \,B$

nebo

$A\div B$

nebo

$A\ominus B.$

Například symetrická diference množin $\{1,2,3\}$ a $\{3,4\}$ je množina $\{1,2,4\}$. Symetrická diference množin dívek a studentů je množina všech dívek, které nejsou studentky, a všech chlapců studentů.

Potenční množina každé množiny se stane abelovou grupou při symetrické diferenci s prázdnou množinou, protože neutrální prvek grupy a každý další prvek v této grupě je svým vlastním inverzním prvkem.

Vlastnosti

Vennův diagram pro $A\triangle B\triangle C$ $~\triangle ~$ $~=~$

Symetrická diference je ekvivalentní se sjednocením obou rozdílů množin:

$A\,\triangle \,B=(A\smallsetminus B)\cup (B\smallsetminus A)$

a také může být vyjádřena jako sjednocení dvou množin bez jejich průniku:

$A\,\triangle \,B=(A\cup B)\smallsetminus (A\cap B)$

nebo pomocí operace XOR:

$A\,\triangle \,B=\{x:(x\in A)\oplus (x\in B)\}.$

Zvláště pak platí, že:

$A\triangle B\subseteq A\cup B.$

Symetrická diference je komutativní a asociativní:

$A\,\triangle \,B=B\,\triangle \,A,\,$

$(A\,\triangle \,B)\,\triangle \,C=A\,\triangle \,(B\,\triangle \,C).\,$

Průnik je distributivní nad symetrickou diferencí:

$A\cap (B\,\triangle \,C)=(A\cap B)\,\triangle \,(A\cap C),$

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Symmetric difference na anglické Wikipedii.