Rozdělení pravděpodobnosti: Porovnání verzí
m robot přidal: ta:நிகழ்தகவு பரவல் |
|||
Řádek 48: | Řádek 48: | ||
Distribuční funkci lze, podobně jako pravděpodobnostní funkci, použít k výpočtu pravděpodobnosti, neboť |
Distribuční funkci lze, podobně jako pravděpodobnostní funkci, použít k výpočtu pravděpodobnosti, neboť |
||
:<math>P[x_1 |
:<math>P[x_1 < X\leq x_2] = F(x_2)-F(x_1)</math> |
||
=== Důležitá diskrétní rozdělení === |
=== Důležitá diskrétní rozdělení === |
Verze z 10. 8. 2011, 17:41
Rozdělení pravděpodobnosti nebo rozložení pravděpodobnosti (někdy také distribuce pravděpodobnosti) náhodné veličiny je pravidlo, kterým každému jevu popisovanému touto veličinou přiřazujeme určitou pravděpodobnost. Rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny tedy získáme, pokud každé hodnotě diskrétní náhodné veličiny, popř. intervalu hodnot spojité náhodné veličiny, přiřadíme pravděpodobnost.
Rozdělení pravděpodobnosti lze také chápat jako zobrazení, které každému elementárnímu jevu přiřazuje určité reálné číslo, které charakterizuje pravděpodobnost tohoto jevu.
Rozdělení pravděpodobnosti diskrétní náhodné veličiny
Pravděpodobnost, že diskrétní náhodná veličina bude mít po provedení náhodného pokusu hodnotu značíme , nebo stručně .
Výsledkem jednoho náhodného pokusu je to, že náhodná veličina bude mít právě jednu hodnotu. Všechny hodnoty definičního oboru náhodné veličiny tedy představují úplný systém neslučitelných jevů, což znamená, že součet pravděpodobností všech možných hodnot diskrétní náhodné proměnné je roven 1, tzn.
Pravděpodobnostní funkce
Rozdělení pravděpodobnosti diskrétní náhodné veličiny tedy vyjádříme tak, že určíme pravděpodobnost pro všechna definičního oboru veličiny . Pravděpodobnosti jednotlivých hodnot jsou tedy vyjádřeny funkcí , kterou označujeme jako pravděpodobnostní funkci.
Hodnoty pravděpodobností funkce vyjadřujeme obvykle tabulkou, např.
x | P(x) |
… | … |
Nebo se také používá vyjádření ve formě grafu (viz obrázek). V některých případech lze také použít vyjádření pomocí matematického vzorce.
Znalost pravděpodobnostní funkce lze použít k výpočtu pravděpodobnosti. Např. pravděpodobnost, že náhodná veličina leží mezi hodnotami a určíme jako
Distribuční funkce diskrétní veličiny
Pomocí pravděpodobnostní funkce můžeme zavést tzv. distribuční funkci vztahem
Distribuční funkce je neklesající a je spojitá zprava. Hodnoty distribuční funkce leží v rozsahu . Pro diskrétní náhodnou veličinu lze pro libovolné reálné číslo vyjádřit distribuční funkci vztahem
Vlastnosti
Jestliže hodnoty náhodné veličiny leží v intervalu , pak a .
Distribuční funkci lze, podobně jako pravděpodobnostní funkci, použít k výpočtu pravděpodobnosti, neboť
Důležitá diskrétní rozdělení
- Alternativní rozdělení (X nabývá pouze dvou hodnot 0 nebo 1)
- Rovnoměrné rozdělení (například hod kostkou)
- Binomické rozdělení (n pokusů se stejnou pravděpodobností)
- Poissonovo rozdělení
- Negativně binomické rozdělení
- Pascalovo rozdělení (zvláštní případ negativně binomického rozdělení)
- Geometrické rozdělení (zvláštní případ pascalova rozdělení)
- Hypergeometrické rozdělení
- Logaritmické rozdělení
Rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny
Rozdělení spojité náhodné veličiny nelze popsat určením pravděpodobnosti v určitém bodě.
Hustota pravděpodobnosti
Rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny se určuje prostřednictvím funkce, kterou označujeme jako hustota rozdělení pravděpodobnosti (hustota pravděpodobnosti).
Je-li hustota pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny , pak platí
- ,
kde je definiční obor veličiny . Pro hodnoty mimo definiční obor je hustota pravděpodobnosti nulová, tzn. pro .
Ze znalosti hustoty pravděpodobnosti lze určit pravděpodobnost, že náhodná veličina bude mít hodnotu z intervalu , tedy
Pravděpodobnost určité (přesně dané) hodnoty náhodné veličiny je nulová, což plyne z předchozího vztahu. Důsledkem toho je, že pro spojitou náhodnou veličinu platí vztahy
Distribuční funkce spojité veličiny
Distribuční funkce jednorozměrné reálné náhodné veličiny se definuje jako pravděpodobnost, že realizace této náhodné veličiny nepřekročí :
Distribuční funkce je neklesající, zprava spojitá, její limita v minus nekonečnu je nula, v plus nekonečnu jedna.
Komplementární distribuční funkce se pak definuje jako .
Pro spojitou náhodnou veličinu s hustotou pravděpodobnosti lze distribuční funkci spočítat také podle vztahu
Vlastnosti
Platí, že a .
Distribuční funkci lze použít k výpočtu pravděpodobnosti, neboť
Lze dokázat, že mezi hustotou pravděpodobnosti a distribuční funkcí platí vztah
Důležitá spojitá rozdělení
- Rovnoměrné rozdělení
- Normální rozdělení (označované také jako Gaussovo rozdělení)
- Logaritmicko-normální rozdělení (také log-normální rozdělení)
- Exponenciální rozdělení
- Cauchyho rozdělení
- Gama rozdělení
- Laplaceovo rozdělení (nebo také dvojitě exponenciální rozdělení)
- Logistické rozdělení
- Maxwellovo-Boltzmannovo rozdělení
- Studentovo rozdělení
- Fischerovo-Snedecorovo rozdělení
- χ² rozdělení (Chí kvadrát)
Vícerozměrné rozdělení pravděpodobnosti
Sdružená a marginální pravděpodobnost
Mějme -rozměrný náhodný vektor , jehož složkami jsou diskrétní náhodné veličiny . Jejich rozdělení lze popsat tzv. sdruženou (simultánní) pravděpodobností
Tento vztah udává pravděpodobnost, že náhodná veličina nabude hodnotu , náhodná veličina nabude hodnoty , atd. pro všechna a .
Pro zobrazujeme sdružené pravděpodobnosti v tzv. korelační tabulce
x | … | Součet | |||
… | |||||
… | |||||
… | … | … | … | … | … |
… | |||||
Součet | … | 1 |
Pravděpodobnosti a jsou tzv. marginální (okrajové) pravděpodobnosti. Platí tedy
Dále platí
Sdružená a marginální distribuční funkce
Sdruženou (simultánní) distribuční funkci lze pro -rozměrný náhodný vektor diskrétních veličin definovat jako
Sdružená distribuční funkce (pro dvě proměnné X, Y) splňuje podmínky
Podobné podmínky platí také pro vícerozměrné náhodné vektory.
Marginální (okrajové) distribuční funkce lze pro vektor dvou proměnných a zapsat vztahy
Podobně lze marginální distribuční funkce určit také v případě vícerozměrných náhodných vektorů.
Sdružená a marginální hustota pravděpodobnosti
Rozdělení dvou spojitých náhodných veličin je možné popsat sdruženou hustotou pravděpodobnosti . Sdružená hustota pravděpodobnosti musí splňovat podmínku
Marginální hustoty pravděpodobnosti určíme jako
Sdruženou distribuční funkci pak dostaneme jako
Ze sdružené distribuční funkce lze naopak získat sdruženou hustotu pravděpodobnosti
Podobně lze postupovat také v případě -rozměrných vektorů spojitých náhodných veličin. Sdruženou hustotu pravděpodobnosti pak můžeme získat jako
Marginální pravděpodobnost lze definovat pro libovolnou skupinu veličin () daného -rozměrného náhodného vektoru. Rozdělení je závislé pouze na daných veličinách a na zbývajících veličinách nezávisí. Pro je nutno rozlišovat podvojnou nezávislost a nezávislost vzájemnou.
Jsou-li veličiny vzájemně nezávislé, pak platí
Podmíněné rozdělení pravděpodobnosti
Podmíněným rozdělením náhodné veličiny vzhledem k veličině rozumíme rozdělení veličiny za podmínky, že náhodná veličina nabyla hodnoty .
Podmíněné rozdělení je definováno jako podíl rozdělení sdruženého a marginálního.
Pro dvě diskrétní náhodné veličiny můžeme zapsat podmíněnou pravděpodobnost veličiny vzhledem k jako
pro , kde je marginální pravděpodobnost a je pravděpodobnost sdružená.
Obdobně dostaneme pro podmíněnou pravděpodobnost veličiny vzhledem k vztah
pro , kde je marginální pravděpodobnost a je opět sdružená pravděpodobnost.
Podmíněná distribuční funkce
Podmíněné distribuční funkce zapsat zapsat jako
Podmíněná hustota pravděpodobnosti
Máme-li dvourozměrný náhodný vektor, jehož složkami jsou spojité náhodné veličiny a , pak můžeme vyjádřit podmíněné hustoty pravděpodobnosti
pro a
pro , kde je sdružená hustota pravděpodobnosti a a jsou marginální hustoty pravděpodobnosti.
Pro podmíněné distribuční funkce spojitých náhodných veličin pak platí
Charakteristiky rozdělení náhodné veličiny
Charakteristiky náhodné veličiny jsou vhodně vybrané číselné údaje, které shrnují základní informace o rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny. Charakteristiky nám o náhodné veličině poskytují pouze základní a hrubou představu, neboť charakteristiky (obvykle) nepostačují k jednoznačnému popisu rozdělení pravděpodobnosti. Naproti tomu rozdělení pravděpodobnosti sice poskytuje jednoznačný popis náhodné veličiny, obvykle však není dostatečně přehledné.
Důležitými charakteristikami rozdělení jsou střední hodnota a rozptyl.