Řada (matematika)

Řada (také nekonečná řada) je matematický výraz ve tvaru $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ , kde $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots$ je nějaká posloupnost.

Pokud jsou členy řady tvořeny čísly, tzn. každý člen $a_{n}\,$ závisí pouze na svém pořadovém čísle $n\,$ , pak hovoříme o číselných řadách (řadách s konstantními členy). Každý prvek řady však může záviset nejen na svém pořadovém čísle $n\,$ , ale také na dalších parametrech. Takové řady označujeme jako funkční (popř. také funkcionální). Funkční řada je řada, jejímiž členy jsou funkce. Funkční řadu, kterou získáme z funkční posloupnosti $(f_{n}(x))\,$ , vyjadřuje výraz

\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)=f_{1}(x)+f_{2}(x)+f_{3}(x)+\cdots

pro $x\in (a,b)$ , kde $(a,b)$ je vzájemný průnik definičních oborů funkcí $f_{1}$ až $f_{n}$ .

Zvolíme-li libovolné $x_{0}\in (a,b)$ , pak získáme číselnou řadu $\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x_{0})$ .

Součet řady

Z posloupnosti $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots$ lze vytvořit novou posloupnost $(s_{n})\,$ , jejíž členy jsou určeny jako $s_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}$ , tedy (konečný) součet prvních n prvků posloupnosti $(a_{n})\,$ . Posloupnost $(s_{n})\,$ označujeme jako posloupnost částečných součtů nebo sumaci řady $\sum a_{n}$ . Člen $s_{n}\,$ této posloupnosti se nazývá $n$ -tým částečným součtem nekonečné řady.

Součet nekonečné řady je definován prostřednictvím limity posloupnosti částečných součtů jako

\lim _{n\to \infty }s_{n}

.

Termín „řada“ bývá v některých případech ztotožňován s tímto součtem.

Konvergence řady

Má-li posloupnost částečných součtů konečnou limitu, tzn.

\lim _{n\to \infty }s_{n}=s

,

pak říkáme, že řada je konvergentní (např. $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}$ ), popř. bodově konvergentní v případě funkční řady. Pokud uvedená limita neexistuje (např. $\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}$ - posloupnost částečných součtů je oscilující) nebo je nevlastní, tzn. $s=\pm \infty$ (např. $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=\infty$ ), pak říkáme, že řada je divergentní.

Pro číselné řady je součtem řady číslo. Pro funkční řady je součtem řady funkce $s(x)=\lim _{n\to \infty }s_{n}(x)$ .

Řada $a_{1}+a_{2}+a_{3}+...$ komplexních čísel $a_{k}=\alpha _{k}+\mathrm {i} \beta _{k}\,$ , kde $\alpha _{k},\beta _{k}\,$ jsou reálná čísla pro $k=1,2,...\,$ , je konvergentní tehdy a jen tehdy, konvergují-li obě řady $\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3}+...\,$ a $\beta _{1}+\beta _{2}+\beta _{3}+...\,$ .

Pokud $\lim _{n\to \infty }\alpha _{n}=\alpha$ a $\lim _{n\to \infty }\beta _{n}=\beta$ , pak

\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }\alpha _{n}+\mathrm {i} \lim _{n\to \infty }\beta _{n}=\alpha +\mathrm {i} \beta =a

Konverguje-li řada $\sum a_{n}$ , pak konverguje také řada $\sum ca_{n}$ . Jestliže konverguje řada $\sum a_{n}$ , pak konverguje také řada, kterou z této řady získáme přidáním nebo odebráním konečného počtu členů. Pokud řada $\sum a_{n}$ diverguje, pak bude divergentní také řada, která vznikne z této řady přidáním nebo odebráním konečného počtu členů.

U funkčních řad $\sum f_{n}(x)$ označujeme množinu $\mathbf {M}$ všech $x$ , pro která je daná řada konvergentní, jako obor konvergence dané řady.

Absolutní konvergence

Pokud konverguje řada $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ , ale nekonverguje řada $\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|$ , říkáme, že řada $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ konverguje neabsolutně.

Pokud konverguje řada $\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|$ i řada $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ , pak říkáme, že řada $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ konverguje absolutně.

Pro absolutně konvergentní řady platí komutativní, asociativní a distributivní zákony. Přesouváním členů absolutně konvergentní řady se nezmění konvergence ani součet řady.

Máme-li dvě absolutně konvergentní řady $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n},\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ se součty $s_{a},s_{b}\,$ , pak platí

\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}+b_{n})=s_{a}+s_{b}

\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}=s_{a}s_{b}

,

kde $c_{n}=a_{1}b_{n}+a_{2}b_{n-1}+...+a_{n-1}b_{2}+a_{n}b_{1}\,$ .

Stejnoměrná konvergence

Řadu funkcí $\sum _{i=1}^{\infty }f_{i}(z)$ označíme jako stejnoměrně konvergentní, pokud v uzavřené oblasti $\mathbf {G}$ komplexní roviny $z$ existuje takové číslo $\varepsilon >0$ a k němu číslo $N(\varepsilon )$ , že pro libovolné $n>N(\varepsilon )$ a $z\in \mathbf {G}$ platí $|s_{n}-s|<\varepsilon$ . Je-li $z$ reálné, pak oblast $\mathrm {G}$ představuje interval.

Podmínky konvergence

U konvergentních řad lze zavést tzv. zbytek řady po $n$ -tém součtu jako

R_{n}=s-s_{n}\,

Podmínku konvergence řady lze vyjádřit také tak, že nekonečná řada konverguje právě tehdy, pokud k libovolnému kladnému číslu $\varepsilon$ existuje takové $N(\varepsilon )$ , že pro libovolné $n>N(\varepsilon )$ platí nerovnost

\left|R_{n}\right|=\left|s-s_{n}\right|<\varepsilon

Nutnou podmínkou konvergence řady $\sum a_{n}$ je

\lim _{n\to \infty }a_{n}=0

Pokud součet řady $\sum a_{n}$ vyjádříme ve tvaru $s=s_{n}+R_{n}\,$ , kde $s_{n}\,$ je $n\,$ -tý částečný součet a $R_{n}\,$ je zbytek řady po $n\,$ -tém částečném součtu, pak nutnou a postačující podmínku konvergence této řady lze vyjádřit vztahem

\lim _{n\to \infty }R_{n}=\lim _{n\to \infty }(s-s_{n})=0

Nutná a postačující podmínka konvergence bývá také vyjadřována ve formě tzv. Bolzanova-Cauchyova kritéria. Podle něj je nekonečná řada konvergentní právě tehdy, existuje-li k libovolnému $\varepsilon >0$ takové číslo $N(\varepsilon )$ , že pro libovolná $m>N(\varepsilon ),n>N(\varepsilon )$ platí

\left|s_{m}-s_{n}\right|<\varepsilon

Kritéria konvergence

Určení součtu řady a tedy rozhodnutí o konvergenci nebo divergenci bývá často poměrně složité. V mnoha případech je postačující nahradit součet nekonečné řady $s\,$ jejím $n\,$ -tým částečným součtem $s_{n}\,$ . U konvergentních řad se chyba $|s_{n}-s|\,$ , které se touto náhradou dopouštíme, s rostoucím $n\,$ zmenšuje. U divergentních řad tomu tak ale není. Je tedy důležité umět rozhodnout o konvergenci nebo divergenci dané řady, aniž bychom získali součet řady.

K tomuto účelu můžeme použít buď přímo podmínky konvergence řad, nebo tzv. kritéria konvergence řad.

Kritéria konvergence řad ulehčují rozhodnutí o konvergenci (nebo divergenci) nekonečné řady. Kritérií pro určování konvergence existuje celá řada, přičemž každý řešený případ je nutno posuzovat zvlášť a zvolit vhodné kritérium.

Srovnávací kritérium

Při srovnávacím (porovnávacím) kritériu uvažujeme dvě řady s nezápornými členy $\sum a_{n},\sum b_{n}$ , přičemž pro všechna $n\,$ platí $0\leq a_{n}\leq b_{n}\,$ . Řadu $\sum a_{n}$ označujeme jako minorantní řadu (minorantu) k řadě $\sum b_{n}$ a řadu $\sum b_{n}$ jako majorantní řadu (majorantu) k řadě $\sum a_{n}$ . Potom platí, že pokud konverguje majoranta, tzn. $\sum b_{n}$ , konverguje také minoranta, tedy $\sum a_{n}$ . Diverguje-li minoranta $\sum a_{n}$ , diverguje také majoranta, tedy $\sum b_{n}$ .

Podílové kritérium

Při podílovém kritériu konverguje řada s kladnými členy $\sum a_{n}$ tehdy, existuje-li reálné číslo $0<q<1$ takové, že pro každé $n$ platí ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\leq q$ . Pokud je ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\geq 1$ , pak řada diverguje.

Limitní podílové kritérium

Zavedeme-li pro řadu s kladnými členy $\sum a_{n}$ veličinu $L=\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}$ , pak dostáváme tzv. limitní podílové kritérium konvergence, podle kterého je řada $\sum a_{n}$ konvergentní pro $L<1\,$ , divergentní pro $L>1\,$ a pro $L=1\,$ může být konvergentní nebo divergentní.

Odmocninové kritérium

Při odmocninovém (Cauchyově) kritériu uvažujeme, že řada s kladnými členy $\sum a_{n}$ konverguje, pokud existuje reálné číslo $0\leq q<1$ a pro každé $n$ platí ${\sqrt[{n}]{a_{n}}}\leq q$ . Pro případ ${\sqrt[{n}]{a_{n}}}>1$ řada diverguje.

Limitní odmocninové kritérium

Pokud pro řadu s kladnými členy $\sum a_{n}$ zavedeme $K=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}$ , pak můžeme použít limitní odmocninové kritérium, podle kterého je řada konvergentní pro $K<1\,$ , divergentní pro $K>1\,$ a pro $K=1\,$ může konvergovat nebo divergovat.

Raabeovo kritérium

Podle Raabeova kritéria je řada s kladnými členy $\sum a_{n}$ konvergentní tehdy, pokud existuje takové přirozené číslo $r>1$ , že pro všechna $n$ platí $n(1-{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}})\geq r$ . Jestliže $n(1-{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}})\leq 1$ , pak řada $\sum a_{n}$ diverguje.

limitní Raabeovo kritérium

Jestliže pro řadu s kladnými členy $\sum a_{n}$ zavedeme $M=\lim _{n\to \infty }n(1-{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}})$ , pak na základě limitního Raabeova kritéria určíme, že řada konverguje pro $M>1\,$ , diverguje pro $M<1\,$ a pro $M=1\,$ může konvergovat i divergovat.

Integrální kritérium

Nechť $\sum a_{n}$ je řada s kladnými členy, jejíž členy lze vyjádřit jako $a_{n}=f(n)\,$ . Pokud ve funkci $f(n)\,$ nahradíme diskrétní proměnnou $n\,$ spojitou proměnnou $x\,$ , přičemž $f(x)\,$ bude spojitou a klesající funkcí na intervalu $\langle 1,+\infty )$ , pak podle tzv. integrálního kritéria je řada $\sum a_{n}$ konvergentní tehdy, pokud konverguje integrál $\int _{a}^{\infty }f(x)\mathrm {d} x$ . Pokud integrál $\int _{a}^{\infty }f(x)\mathrm {d} x$ diverguje, pak diverguje také řada $\sum a_{n}$ .

Leibnizovo kritérium

Pro alternující řady, které zapíšeme jako $\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n}a_{n}$ , kde $a_{n}\geq 0\,$ , lze použít Leibnizovo kritérium. Podle tohoto kritéria konverguje uvedená alternující řada tehdy, pokud existuje $n_{0}$ takové, že $a_{n_{0}}>a_{n_{0}+1}>a_{n_{0}+2}>...\,$ (tj. od určitého indexu ryze monotónně klesá), a zároveň $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$ .

Gaussovo kritérium

^[1]Nechť $(a_{n})\,$ je kladná posloupnost, pro niž existují $q,\alpha \in \mathbb {R}$ , kladné $\varepsilon$ a omezená posloupnost $(c_{n})\,$ taková, že pro všechny $n\in \mathbb {N}$ platí:

{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=q-{\frac {\alpha }{n}}+{\frac {c_{n}}{n^{1+\varepsilon }}}

Když $q<1\,$ nebo když $q=1\,$ a $\alpha >1\,$ , pak řada $\sum a_{n}$ konverguje.
Když $q>1\,$ nebo když $q=1\,$ a $\alpha \leq 1$ , pak řada $\sum a_{n}$ diverguje.

Dirichletovo kritérium

Nechť $(a_{n})\,$ je reálná posloupnost a $(b_{n})\,$ komplexní posloupnost, pro které platí:

$(a_{n})\,$ je od jistého indexu monotonní a $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$ ;
$(b_{n})\,$ má omezenou posloupnost částečných součtů.

Pak řada $\sum a_{n}b_{n}$ konverguje.

Abelovo kritérium

Nechť $(a_{n})\,$ je reálná posloupnost a $(b_{n})\,$ komplexní posloupnost, pro které platí:

$(a_{n})\,$ je monotonní a omezená;
$\sum b_{n}$ je konvergentní řada.

Pak řada $\sum a_{n}b_{n}$ konverguje.

Existuje také verze Abelova kritéria stejnoměrné konvergence pro řady funkcí.

Přerovnání řady

Operace sčítání v $\mathbb {C}$ je komutativní. Proto při sčítání konečného počtu čísel nezáleží na pořadí, v jakém jsou sčítány. Při nekonečně mnoha sčítancích tomu tak být nemusí.

Přerovnáním řady $\sum a_{n}$ podle $\phi \,$ se nazývá řada $\sum a_{\phi (n)}$ , kde $\phi \,$ je bijekce $\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ .

Pokud je řada $\sum a_{n}$ absolutně konvergentní, pak její každé přerovnání je také absolutně konvergentní řada a má stejný součet.

Riemannova věta

Je-li řada $\sum a_{n}$ neabsolutně konvergentní reálná řada, pak ke každému $s\in {\overline {\mathbb {R} }}$ existuje přerovnání $\sum a_{\phi (n)}$ , jež má součet $s\,$ . Rovněž existuje oscilující přerovnání $\sum a_{\psi (n)}$ .

Důkaz: Označme K rozšířené reálné číslo rovné součtu kladných členů řady (je-li jich nekonečně mnoho, pak jej lze definovat jako součet řady s vynecháním nekladných členů nebo ekvivalentně jako supremum součtů konečných množin kladných členů). Podobně buď Z součet záporných členů řady.

Pak jsou jen tři možnosti:
a) K i Z jsou konečné, pak řada v každém přerovnání konverguje k číslu K+Z.
b) přesně jedno z nich je konečné, pak řada v každém přerovnání diverguje k tomu z nich, které je nekonečné
c) Obě jsou nekonečná. Potom přerovnání konvergující k číslu s sestrojíme tak, že nejprve budeme nejdříve vkládat kladné čeny (počínaje největšími), dokud posloupnost částečných součtů (známe-li prvních n prvků vytvářeného přerovnání, známe i prvních n částečných součtů) nepřesáhne s. Poté budeme vkládat záporné členy (počínaje těmi, které jsou v absolutní hodnotě největší), dokud posloupnost částečných součtů neklesne pod s. Tento postup opakujeme donekonečna. Pokud řada obsahuje nulové členy, pak při každé "změně směru" vložíme jeden, dokud všechny nevyčerpáme. Tento postup lze formalizovat pomocí věty o definici rekurzí.

Jelikož K i Z jsou nekonečné, neexistuje žádný index $n_{0}\,\!$ , za nímž by již nedošlo ke změně směru. Z toho též plyne, že všechny členy původní řady budou vyčerpány, jedná se tedy skutečně o přerovnání.

Zbývá ukázat, že posloupnost částečných součtů konverguje k s. Pro libovolné ε>0 z definice konvergence existuje index $n_{1}\,\!$ takový, že všechny členy původní řady, které jsou v absolutní hodnotě větší, než ε, jsou v novém přerovnání vyčerpány před $n_{1}\,\!$ . Označme $n_{2}\,\!$ nejbližší další index, kde došlo ke změně směru. Od tohoto indexu leží všechny částečné součty v intervalu (s-ε, s+ε), neboť jakmile je hodnota s překročena, dojde ihned ke změně směru. Přerovnaná řada tedy konverguje k s.

Oscilující řady lze zkonstruovat podobně, přičemž přesáhne-li částečný součet číslo 1, přidáváme záporné členy, dokud částečný součet neklesne pod -1, pak přidáváme kladné.

Násobení řad

Pro absolutně konvergentní řady $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ a $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ platí:

\left(\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\right)\left(\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}\right)=\sum _{n=2}^{\infty }{\sum _{k=1}^{n-1}{a_{k}b_{n-k}}}

Césarovské součty

Částečné součty: $s_{k}:=\sum _{n=1}^{k}a_{k}$

Označme: $\sigma _{n}:={\frac {s_{1}+s_{2}+...+s_{n}}{n}}$

Řekneme, že řada je Césarovsky sumovatelná, pokud existuje $lim_{n->\infty }\sigma _{n}$

Řadu označíme symbolem $(C,1)$ pokud $lim_{n->\infty }\sigma _{n}=\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ ^[zdroj?]

Některé významné řady

Geometrická řada je taková řada, v níž je každý následující prvek konstantním násobkem předchozího prvku. Například

1+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}=2.

Obecně lze říci, že geometrická řada $\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}$ konverguje právě tehdy, je-li $|z|<1\,$ .

Aritmetická řada je řada, v níž každý následující prvek je zvětšen o konstantní hodnotu. Např.

1+3+5+7+...=\sum _{n=1}^{\infty }\left[1+2(n-1)\right]=\infty

.

Harmonická řada je řada tvaru

1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=\infty

Ačkoli je splněna nutná podmínka pro konvergenci řady, tj. $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$ , je součet této řady roven nekonečnu, tedy řada diverguje. Nazývá se harmonická, protože každý člen, kromě prvního, je harmonickým průměrem sousedních členů.

Řada s kladnými členy je taková řada $\sum a_{n}$ , jejíž všechny členy vyhovují podmínce $a_{n}>0\,$ . Řada s kladnými členy má vždy součet.
Alternující řada je řada, jejíž členy pravidelně střídají znaménka. Jde tedy o řadu

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n+1}\left|a_{n}\right|$ dy limitu

Teleskopická řada
Mocninné řady

Odkazy

Reference

↑ Springer online, Gauss criterion

Související články

[1] Springer online, Gauss criterion

[1]