Vzájemná poloha přímky a kružnice

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Vzájemná poloha přímky a kružnice.

Vzájemná poloha přímky a kružnice (ležící v téže rovině) závisí na vzdálenosti s středu kružnice od přímky a poloměru $r$ .

$s > r$ : přímka nemá s kružnicí žádný společný bod (tzv. vnější přímka kružnice nebo nesečna)
$s = r$ : přímka se nazývá tečnou ke kružnici a má s ní 1 společný bod dotyku
$s < r$ : přímka se nazývá sečna a má s kružnicí 2 společné body (průsečíky) a úsečka s krajními body v průsečících se nazývá tětiva (nejdelší tětiva je průměr)

Přímka tedy může kružnici protínat ve dvou, v jednom nebo v žádném bodě.

[editovat] Analytické řešení

Mějme přímku zadanou směrnicovou rovnicí $y = k x + q$ a kružnici se středem v počátku a rovnicí $x 2 + y 2 = r 2$ , pak souřadnice průsečíků, které získáme řešením této soustavy rovnic, jsou

$\left[-\frac{qk}{1+k^2}\pm \frac{1}{1+k^2}\sqrt{r^2(1+k^2)-q^2},\; \frac{q}{1+k^2}\pm\frac{k}{1+k^2}\sqrt{r^2(1+k^2)-q^2}\right]$

O poloze přímky vzhledem ke kružnici rozhoduje člen $D = r 2 (1 + k 2) - q 2$ . Pro $D > 0$ protíná přímka kružnici ve dvou různých bodech (přímka je sečnou kružnice). Pro $D = 0$ mají přímka a kružnice společný právě jeden bod, tzn. přímka se kružnice pouze dotýká (přímka je tečnou kružnice). Pro $D < 0$ přímka kružnici neprotíná v žádném bodě (jde o tzv. vnější přímku kružnice).