Analytická geometrie

Tento článek není dostatečně ozdrojován a může tedy obsahovat informace, které je třeba ověřit.
Jste-li s popisovaným předmětem seznámeni, pomozte doložit uvedená tvrzení doplněním referencí na věrohodné zdroje.

Analytická geometrie (také souřadnicová geometrie nebo kartézská geometrie) je část geometrie, která zkoumá geometrické útvary v euklidovské geometrii pomocí algebraických a analytických metod.

V analytické geometrii jsou geometrické útvary v prostoru vyjadřovány čísly a rovnicemi ve zvolených souřadnicových soustavách. Mnohé problémy analytické geometrie jsou úzce svázány s lineární algebrou.

Historie

Za zakladatele analytické geometrie je považován René Descartes, který publikoval základní metody v roce 1637.

Analytická geometrie v Euklidovském prostoru

V euklidovském prostoru obvykle máme danou soustavu souřadnic $\{x_1,x_2,\ldots,x_n\}$ bodů i vektorů. Velikost vektoru $(v_1, v_2,\ldots,v_n)$ je $\sqrt{v_1^2+\ldots+v_n^2}$ a skalární součin vektorů $(v_1, v_2,\ldots, v_n)\cdot (w_1,\ldots,w_n)=v_1 w_1 + \ldots v_n w_n$. Přímky jsou dány jako množiny $\{a+t\mathbf{v}; \,t\in\R\}$ kde a je bod a v vektor. V dvourozměrném prostoru je navíc definována kružnice je množina bodů v rovině, které mají stejnou vzdálenost od jednoho bodu $(x_0, y_0)$ (středu kružnice). Její rovnice je $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$. Takto popsaný prostor, ve kterém můžeme definovat přímky, body, úhly a vzdálenosti pomocí rovnic a souřadnic, tvoří model pro euklidovské geometrie.

Vzájemná poloha geometrických útvarů

Vzájemnou polohu geometrických útvaru popsaných rovnicemi lze obvykle určit z vlastností těchto rovnic, resp. z (ne)existence jejich řešení.

Vzájemná poloha bodu a křivky

Bod může ležet buď mimo křivku, nebo na ní.
Bod A leží na křivce p pokud dosazením souřadnic bodu do rovnice křivky získáme rovnost.

$A[x_1, \ldots, x_n], p(y_1, \ldots, y_n)=0, A \in p \Leftrightarrow p(x_1, \ldots, x_n)=0$

Vzájemná poloha bodu a přímky

Pokud bod leží na přímce, rozděluje ji takto na dvě polopřímky. Bod ležící mimo přímku s ní určuje jednu rovinu.
Obdobně jako u obecné křivky, bod A leží na přímce p pokud dosazením souřadnic bodu do rovnice přímky získáme rovnost.

$A[x_1, \ldots, x_n], p: a_1 y_1+ \ldots + a_n y_n + d = 0 , A \in p \Leftrightarrow a_1 x_1+ \ldots + a_n x_n + d = 0$

Leží-li bod mimo přímku, je možno určit jejich vzájemnou vzdálenost.

Vzájemná poloha bodu a kružnice

Obecný bod může ležet

• uvnitř kružnice (vzdálenost středu kružnice a bodu je menší než poloměr)
• na kružnici (vzdálenost středu kružnice a bodu je rovna poloměru)
• vně kružnice (vzdálenost středu kružnice a bodu je větší než poloměr)

Vzájemnou polohu bodu a kružnice určuje tzv. mocnost $m$ bodu ke kružnici. Máme-li kružnici určenou vztahem ${(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2=r^2$, pak mocnost bodu $[x^\prime,y^\prime]$ k této kružnici se určí jako

$m = {(x^\prime-x_0)}^2+{(y^\prime-y_0)}^2-r^2$

Pro $m=0$ leží bod na kružnici, pro $m>0$ leží bod vně kružnice a pro $m<0$ uvnitř kružnice.

Vzájemná poloha dvou přímek

V rovině

Rovnoběžky v rovině jsou přímky, které mají stejný směr a nemají žádný společný bod. Speciálním případem je totožnost. Dále různoběžky jsou přímky, které se protínají právě v jednom bodě – průsečíku. Ten je tedy jejich jediným společným bodem.

Dvě přímky v rovině se dají popsat jako množina bodů $x,y$ splňujících rovnice

$y = k_1 x+q_1$

$y = k_2 x+q_2$

Podmínka rovnoběžnosti je $k_1 = k_2$. Přímky jsou kolmé, pokud jejich směrnice $k_1, k_2$ splňují podmínku $k_1 k_2+1=0$.

Průsečík dvou přímek získáme řešením této soustavy, čímž dostaneme souřadnice průsečíku

$x_P = \frac{q_1-q_2}{k_2-k_1}\quad y_P = \frac{q_1 k_2 - q_2 k_1}{k_2-k_1}$

V třírozměrném prostoru

Rovnoběžky v prostoru jsou přímky, které mají stejný směr. Speciálním případem jsou totožné přímky. Dále různoběžky jsou přímky, které se protínají právě v jednom bodě, tedy mají právě jeden společný bod. Mimoběžky jsou přímky, které neleží ve stejné rovině a proto se neprotínají i když mají různý směr.

Dvě přímky můžou být zadané rovnicemi

$a_1 x+b_1 y+c_1 z+d_1=0,\quad a_2 x+b_2 y+c_2 z+d_2=0\quad$.

a

$a_3 x+b_3 y+c_3 z+d_3=0,\quad a_4 x+b_4 y+c_4 z+d_4=0\quad$

(předpokládejme, že první i druhá dvojice rovnic opravdu určuje přímku a ne rovinu nebo prázdnou množinu). Tyto dvě přímky se protínají, pokud matice

$A=\begin{pmatrix} a_1 & b_1 & c_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 & d_3 \\ a_4 & b_4 & c_4 & d_4 \end{pmatrix}$

je singulární. Přímky jsou totožné, pokud tato matice má hodnost 2. Přímky jsou rovnoběžné, pokud matice tvořená prvními třema sloupci A má hodnost 2.

Vzájemná poloha dvou kružnic

Jako vzájemná poloha dvou kružnic se v geometrii označuje počet průsečíků a poloha dvou kružnic. Tato poloha je závislá na velikosti poloměrů jednotlivých kružnic $r_1$, $r_2$ a vzdálenosti jejich středů s.

Vzájemné polohy dvou kružnic.

Kružnice

• jsou soustředné, pokud s = 0 (viz kružnice k a k₁)
  • pokud zároveň $r_1 = r_2$, pak jsou kružnice totožné a mají nekonečně mnoho společných bodů
  • v ostatních případech ($r_1 \ne r_2$) nemají společný bod.
• nemají společný bod (menší kružnice leží celá uvnitř větší), pokud $0 < s < \left | r_1 - r_2 \right |$ (viz kružnice k a k₂)
• mají vnitřní dotyk, pokud $s = \left | r_1 - r_2 \right |$ (viz kružnice k a k₃)
• se protínají (mají 2 společné průsečíky), pokud $\left | r_1 - r_2 \right | < s < r_1 + r_2$ (viz kružnice k a k₄)
• mají vnější dotyk, pokud s = r₁ + r₂ (viz kružnice k a k₅)
• nemají společný bod (leží vně), pokud s > r₁ + r₂ (viz kružnice k a k₆)

Jsou-li kružnice zadány svými rovnicemi, lze jejich vzájemnou polohu určit řešením odpovídající soustavy rovnic.

Vzájemná poloha přímky a kružnice

Vzájemná poloha přímky a kružnice.

Vzájemná poloha přímky a kružnice (ležící v téže rovině) závisí na vzdálenosti s středu kružnice od přímky a poloměru $r$.

• $s > r$: přímka nemá s kružnicí žádný společný bod (tzv. vnější přímka kružnice nebo nesečna)
• $s = r$: přímka se nazývá tečnou ke kružnici a má s ní 1 společný bod dotyku
• $s < r$: přímka se nazývá sečna a má s kružnicí 2 společné body (průsečíky) a úsečka s krajními body v průsečících se nazývá tětiva (nejdelší tětiva je průměr)

Přímka tedy může kružnici protínat ve dvou, v jednom nebo v žádném bodě.

Mějme přímku zadanou směrnicovou rovnicí $y=kx+q$ a kružnici se středem v počátku a rovnicí $x^2+y^2=r^2$, pak souřadnice průsečíků, které získáme řešením této soustavy rovnic, jsou

$\left[-\frac{qk}{1+k^2}\pm \frac{1}{1+k^2}\sqrt{r^2(1+k^2)-q^2},\; \frac{q}{1+k^2}\pm\frac{k}{1+k^2}\sqrt{r^2(1+k^2)-q^2}\right]$

O poloze přímky vzhledem ke kružnici rozhoduje člen $D=r^2(1+k^2)-q^2$. Pro $D>0$ protíná přímka kružnici ve dvou různých bodech (přímka je sečnou kružnice). Pro $D=0$ mají přímka a kružnice společný právě jeden bod, tzn. přímka se kružnice pouze dotýká (přímka je tečnou kružnice). Pro $D<0$ přímka kružnici neprotíná v žádném bodě (jde o tzv. vnější přímku kružnice).

Vzájemná poloha dvou rovin v třírozměrném prostoru

Dvě různé roviny $\rho, \sigma$ v trojrozměrném prostoru, které mají společnou přímku $p$, nazýváme různoběžnými a značíme $\rho\nparallel\sigma$. Přímka $p$ představuje průsečnici obou rovin $\rho$ a $\sigma$.

Dvě různé roviny, které nemají v prostoru žádný společný bod anebo jsou identické (totožné), označujeme jako rovnoběžné.

Pokud jsou roviny popsány rovnicemi $a_1 x + b_1 y + c_1 z +d_1 =0$ a $a_2 x + b_2 y + c_2 z +d_2 =0$, pak se protínají, pokud tyto dvě rovnice mají společné řešení, jsou rovnoběžné pokud nemají řešení a jsou totožné, pokud druhá rovina je násobkem první rovnice.

Související články

• Geometrie
• Euklidova geometrie
• Algebraická geometrie
• Diferenciální geometrie