Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Tento článek není dostatečně
ozdrojován, a může tedy obsahovat informace, které je třeba
ověřit.
Jste-li s popisovaným předmětem seznámeni, pomozte doložit uvedená tvrzení doplněním
referencí na
věrohodné zdroje.
Graf hyperbolického tangens
Hyperbolický tangens (tangens hyperbolicus) je hyperbolická funkce. Značí se
, dříve
.
Hyperbolický tangens je definován jako podíl hyperbolického sinu a hyperbolického kosinu:
.
Definice platí i pro komplexní argument. Pomocí ryze imaginárního úhlu jej lze definovat jako
, kde
je imaginární jednotka.
je rostoucí funkce
![{\displaystyle D{\bigl (}\tanh {\bigr )}=\mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ebc353851fa0d09007d2fcff3a67e868b5d970b)
![{\displaystyle H{\bigl (}\tanh {\bigr )}={\bigl (}-1,+1{\bigr )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1163d311bd131f4e54baf2ddae00c4e60130943)
- Hyperbolický tangens je lichá funkce, je tedy splněna podmínka
![{\displaystyle \tanh(-x)=-\tanh x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa37badafbbf94fe44e99e5825baa028ac5a51da)
- Pro součet argumentů, dvojnásobný a poloviční argument platí:
![{\displaystyle \tanh(x+y)={\frac {\tanh(x)+\tanh(y)}{1+\tanh(x)\cdot \tanh(y)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f555a62699dbc57fb8c4df5d6a70d3e8578767d6)
![{\displaystyle \tanh(2x)={\frac {2\tanh(x)}{1+\tanh ^{2}(x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86422cbe1142cc514a193def50c85535092cb6ee)
![{\displaystyle \tanh {\frac {x}{2}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}(\cosh(x)-1)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2383ccf44abb695915118536ebb5957a335663bf)
, kde ![{\displaystyle |x|<1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f9498d60b2319a4ae7c5607794b537c559a976d)
- Derivace hyperbolického tangens:
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tanh x=1-\tanh ^{2}x=\operatorname {sech} ^{2}x=1/\cosh ^{2}x\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/751cd420c3c764c720565e82c36b90c7f586e9d3)
.