Pravidelný mnohoúhelník

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Pravidelné konvexní mnohoúhelníky

Triangle.Equilateral.svgKvadrato.svgPentagon.svgHexagon.svg
Heptagon.svgOctagon.svgEnneagon.svgDecagon.svg

Počet stran a vrcholů n
Grupa symetrie Dihedrální (Dn)
Obsah
(kde s=délka strany)
Vnitřní úhel
Součet vnitřních úhlů

Pravidelný mnohoúhelník je mnohoúhelník, který má všechny úhly stejně velké a všechny strany stejně dlouhé. Může být konvexní nebo hvězdicový.

Obecné vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Tyto vlastnosti se týkají i konvexních i hvězdicových pravidelných mnohoúhelníků.

Všechny vrcholy pravidelného mnohoúhelníka leží na stejné kružnici (kružnice opsaná). Společně se stejnou délkou stran to znamená, že má i kružnici vepsanou, která se dotýká každé strany v jejím středu.

Pravidelný n-úhelník je konstruovatelný Eukleidovskou konstrukcí tehdy a jen tehdy, když jsou liché dělitele n různá Fermatova prvočísla.

Pravidelné mnohoúhelníky jsou symetrické.

Pravidelný n-úhelník má n os souměrnosti, je-li n sudé číslo, pak má i střed souměrnosti.

Pravidelné konvexní mnohoúhelníky[editovat | editovat zdroj]

Galerie[editovat | editovat zdroj]

Úhly[editovat | editovat zdroj]

Pro každý pravidelný konvexní n-úhelník platí, že každý vnitřní úhel je veliký

(neboli ) stupňů
neboli radiánů

a každý vnější úhel (doplňkový k vnitřnímu úhlu) je veliký stupňů.

Úhlopříčky[editovat | editovat zdroj]

Pro je počet úhlopříček .

Pro n-úhelník vepsaný do jednotkové kružnice je součin vzdáleností od jednoho vrcholu ke všem ostatním vrcholům (včetně sousedních) je rovný n.

Poloměry[editovat | editovat zdroj]

Poloměr kružnice opsané pravidelnému mnohoúhelníku s délkou strany s je:

Poloměr kružnice vepsané pravidelnému mnohoúhelníku s délkou strany s je:

Pozn.: Délka poloměru kružnice vepsané se rovná délce apotémy, což je úsečka spojující střed se středem libovolné strany

Obsah[editovat | editovat zdroj]

Obsah S pravidelného konvexního n-úhelníku s délkou strany s a poloměry kružnic opsané r a vepsané je:[1]

Pro pravidelné mnohoúhelníky se stranou s=1 jsou obsahy následující

Strany Název Přesná plocha Přibližná plocha
n pravidelný n-úhelník  
3 rovnostranný trojúhelník 0,433012702
4 čtverec 1
5 pravidelný pětiúhelník 1,720477401
6 pravidelný šestiúhelník 2,598076211
7 pravidelný sedmiúhelník   3,633912444
8 pravidelný osmiúhelník 4,828427125
9 pravidelný devítiúhelník   6,181824194
10 pravidelný desetiúhelník 7,694208843
11 pravidelný jedenáctiúhelník   9,365639907
12 pravidelný dvanáctiúhelník 11,19615242
13 pravidelný třináctiúhelník   13,18576833
14 pravidelný čtrnáctiúhelník   15,33450194
15 pravidelný patnáctiúhelník 17,64236291
16 pravidelný šestnáctiúhelník 20,10935797
17 pravidelný sedmnáctiúhelník   22,73549190
18 pravidelný osmnáctiúhelník   25,52076819
19 pravidelný devatenáctiúhelník   28,46518943
20 pravidelný dvacetiúhelník 31,56875757

Ze všech n-úhelníků daného obvodu má pravidelný mnohoúhelník největší plochu.[2]

Pravidelné hvězdicové mnohoúhelníky[editovat | editovat zdroj]

Pentagram {5/2}

Nekonvexní pravidelný mnohoúhelník je pravidelný hvězdicový mnohoúhelník. Nejznámějším příkladem je pentagram, který má stejné vrcholy jako pětiúhelník, ale spojuje jiné (všechny zbývající) vrcholy).

Pro každý hvězdicový mnohoúhelník s n stranami se udává Schläfliho symbol, který označuje „hustotu“ m, výsledný symbol je tedy {n/m}. Když je m rovno 2, znamená to, že se spojí každý druhý vrchol. Když je m rovno 3, spojí se každý třetí vrchol atd.

Reference[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Regular polygon na anglické Wikipedii.

  1. Mathworlds [online]. . [1]. (anglicky) 
  2. Chakerian, G. D. "A Distorted View of Geometry." Ch. 7 in Mathematical Plums (R. Honsberger, editor). Washington, DC: Mathematical Association of America, 1979: 147.

Literatura[editovat | editovat zdroj]

  • Marcela Palková a kolektiv: Průvodce matematikou 2, Didaktis, Brno 2007, ISBN 978-80-7358-083-4, str. 34-37

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]