Fermatovo číslo

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Fermatovým číslem se v matematice rozumí takové přirozené číslo, které je rovno

F_{n} = 2^{2^{ \overset{n} {}}} + 1

pro nějaké přirozené číslo n. Svoje jméno tato čísla získala podle matematika Pierra de Fermata, který je zkoumal jako jeden z prvních.

Prvních devět Fermatových čísel je:

F0 = 21 + 1 = 3
F1 = 22 + 1 = 5
F2 = 24 + 1 = 17
F3 = 28 + 1 = 257
F4 = 216 + 1 = 65 537
F5 = 232 + 1 = 4 294 967 297
= 641 × 6 700 417
F6 = 264 + 1 = 18 446 744 073 709 551 617
= 274 177 × 67 280 421 310 721
F7 = 2128 + 1 = 340 282 366 920 938 463 463 374 607 431 768 211 457
= 59 649 589 127 497 217 × 5 704 689 200 685 129 054 721
F8 = 2256 + 1 = 115 792 089 237 316 195 423 570 985 008 687 907 853 269 984 665 640 564 039 457 584 007 913 129 639 937
= 1 238 926 361 552 897 × 93 461 639 715 357 977 769 163 558 199 606 896 584 051 237 541 638 188 580 280 321

V roce 2008 byl znám prvočíselný rozklad pouze prvních dvanácti Fermatových čísel F0F11.[1]

Fermatova prvočísla[editovat | editovat zdroj]

Fermat věřil, že všechna Fermatova čísla jsou prvočísla (takovým číslům se pak zkráceně říká Fermatovo prvočíslo). To bylo vyvráceno v roce 1732 Leonhardem Eulerem. Euler dokázal, že dělitel čísla Fn musí mít podobu k2n+2 + 1. Pro n=5 tedy stačí zkoušet dělit čísly 128k + 1 a Euler objevil, že

 F_{5} = 2^{2^5} + 1 = 2^{32} + 1 = 4294967297 = 641 \cdot 6700417. \;

V rozporu s Fermatovým očekáváním se dodnes (2008) nepodařilo objevit žádná další Fermatova prvočísla kromě F0, F1, F2, F3 a F4, která znal už Fermat. Vzhledem k tomu, jak rychle Fermatova čísla rostou, se o Fermatových číslech pro velká n mnoho neví a pojí se k nim následující otevřené problémy:

  • jsou všechna Fermatova čísla Fn pro n>4 složená?
  • existuje nekonečně mnoho Fermatových složených čísel?
  • existuje nekonečně mnoho Fermatových prvočísel?

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. (anglicky) Wilfrid Keller, „Prime Factors of Fermat Numbers“. Staženo 2008-09-07.

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Fermat number na anglické Wikipedii.

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]