Dihedrální grupa

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Dihedrální grupa je pojem z algebry, který označuje grupu shodností pravidelného mnohoúhelníka (otočení a osové souměrnosti). Dihedrální grupy patří mezi jednoduché příklady (nekomutativních) konečných grup a hrají důležitou roli v teorii grup, geometrii a chemii.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Prvky[editovat | editovat zdroj]

Šest osových symetrií pravidelného šestiúhelníka

Pravidelný n-úhelník má celkem 2n různých shodností, které ho zachovávají: n otočení a n osových souměrností. Ty tvoří prvky dihedrální grupy . Pro lichá n spojují osy souměrností vždy střed strany s protilehlým vrcholem. Pro sudá n prochází polovina os vždy středy dvou protilehlých stran a druhá polovina os spojuje protilehlé vrcholy. V obou případech je shodností dohromady stejně jako vrcholů. Složením dvou osových souměrnosti je rotace o dvojnásobek úhlu, který tyto osy svírají.

Na následující sérii obrázků jsou všechny možné shodnosti osmiúhelníku, v první řadě otočení a v druhé řadě osové souměrnosti (místo označení vrcholů je za účelem identifikace zobrazení použit obrázek stopky):

Zobrazení dihedrální grupy pro dopravní značku

Grupová operace[editovat | editovat zdroj]

Osové souměrnosti rovnostranného trojúhelníka

Složení dvou shodností pravidelného mnohoúhelníka dává opět shodnost. Toto skládání je grupová operace. Následující Cayleyova tabulka obsahuje všechna možná složení shodností rovnostranného trojúhelníka. R₀ značí neutrální prvek, R₁ a R₂ jsou otočení proti směru hodinových ručiček o 120° a 240° a S₀, S₁ a S₂ jsou osové souměrnosti označené na obrázku vpravo.

R0 R1 R2 S0 S1 S2
R0 R0 R1 R2 S0 S1 S2
R1 R1 R2 R0 S1 S2 S0
R2 R2 R0 R1 S2 S0 S1
S0 S0 S2 S1 R0 R2 R1
S1 S1 S0 S2 R1 R0 R2
S2 S2 S1 S0 R2 R1 R0

Je vidět, že dihedrální grupa D4 není komutativní, což platí pro všechny indexy kromě 1 a 2.