Sjednocení

Sjednocení dvou množin
$~A\cup B$

V matematice se jako sjednocení dvou nebo více množin označuje taková množina, která obsahuje každý prvek, který se nachází alespoň v jedné ze sjednocovaných množin, a žádné další prvky. Sjednocení množin A a B se označuje symbolem A ∪ B.

Formální definice

Pro všechna x platí, že x ∈ A ∪ B právě když x ∈ A nebo x ∈ B. (Jedná se o matematické nebo, tzn. prvek patří do sjednocení i tehdy, nachází-li se v obou množinách.)

V případě, že se jedná o sjednocení více množin, je možno je chápat jako několik postupných sjednocení (viz asociativita níže), nebo tak, že prvek je součástí sjednocení právě tehdy, je-li prvkem alespoň jedné z množin. Např. pro sjednocení tří množin platí, že x je prvkem A ∪ B ∪ C iff x ∈ A nebo x ∈ B nebo x ∈ C. Sjednocení $n$ množin $A_{1},A_{2},...,A_{n}$ lze zkráceně psát

$A_{1}\cup A_{2}\cup ...\cup A_{2}=\cup _{i=1}^{n}{A_{i}}$

Příklad: Sjednocením množin { 1, 2, 4, 8, 9 } a { 3, 4, 7, 9 } je množina { 1, 2, 3, 4, 7, 8, 9 }. Sjednocením množiny všech prvočísel { 2, 3, 5, 7, 11, ... } s množinou všech sudých kladných čísel { 2, 4, 6, … } je množina, jejímiž prvky jsou např. čísla 17, 18, 19, 20, ale nepatří do ní např. čísla 9, 15, 27, 63, 121.

Následuje obecná definice sjednocení nebo také sumy pro libovolnou (i nekonečnou množinu), jak vyplývá z axiomu sumy a jak je používána v teorii množin:
$\bigcup A=\{x:(\exists y)(x\in y\land y\in A)\}\,\!$

Z této definice dostávám speciálně pro dvouprvkovou množinu $A=\{b,c\}\,\!$ klasické dvoumnožinové sjednocení:
$b\cup c=\bigcup A=\bigcup \{b,c\}=\{x:x\in b\vee x\in c\}\,\!$

Vlastnosti

Operace sjednocení dvou množin (jakožto binární operace) je asociativní, tzn. (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C). Současné sjednocení všech množin – A ∪ B ∪ C – je oběma těmto výrazům rovno, proto je možno psát sjednocení libovolného množství množin bez použití závorek.

Sjednocení je komutativní operace, platí tedy, že A ∪ B = B ∪ A, sjednocované množiny je tedy možno psát v libovolném pořadí.

Neutrálním prvkem pro operaci sjednocení je prázdná množina, tzn. A ∪ ∅ = A pro libovolné A. Prázdná množina se tak dá chápat jako výsledek sjednocení prázdné množiny množin.

Sjednocením s univerzální množinou získáme opět univerzální množinu, tzn. $A\cup I=I$.

Vzhledem k definici sjednocení vyplývají všechny tyto skutečnosti z obdobných skutečností o logické spojce nebo.

Mohutnost sjednocení dvou množin je přinejmenším rovna mohutnosti větší z obou množin, nejvýše pak součtu obou mohutností. Pro konečné množiny platí konkrétně: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.

Sjednocení množin je idempotentní, tzn. platí $A\cup A=A$.

Jiné významy slova

České slovo sjednocení (cizím slovem unifikace) zcela obecně představuje vytváření jednoty, jednotného názoru, jednotného chování, myšlení, vystupování apod. a to ve všech oborech lidské činnosti a společenského života.

Související články

• Množinové operace
• Průnik
• Rozdíl množin
• Doplněk množiny
• UNION

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu sjednocení na Wikimedia Commons
• Slovníkové heslo sjednocení ve Wikislovníku

Portály: Matematika