Reissnerova–Nordströmova metrika

Reissnerova–Norströmova metrika je ve fyzice a astronomii statické řešení Einsteinových rovnic gravitačního pole, odpovídající gravitačnímu poli nabitého, nerotujícího, sféricky symetrického tělesa o hmotnosti M.

Metrika byla objevena německým fyzikem Hansem Reissnerem a finským fyzikem Gunnarem Nordströmem.

Čtveřici podobných řešení lze shrnout do následující tabulky:

	Nerotující (J = 0)	Rotující (J ≠ 0)
Nenabitá (Q = 0)	Schwarzschildova metrika	Kerrova metrika
Nabitá (Q ≠ 0)	Reissnerova–Nordströmova metrika	Kerrova–Newmanova metrika

kde Q reprezentuje elektrický náboj a J reprezentuje moment hybnosti.

Metrika

Ve sférických souřadnicích (t, r, θ, φ), je lineární element Reissnerovy–Nordströmovy metriky

$ds^{2}=\left(1-{\frac {r_{\mathrm {S} }}{r}}+{\frac {r_{Q}^{2}}{r^{2}}}\right)c^{2}\,dt^{2}-\left(1-{\frac {r_{\mathrm {S} }}{r}}+{\frac {r_{Q}^{2}}{r^{2}}}\right)^{-1}dr^{2}-r^{2}\,d\Omega _{(2)}^{2},$

kde c je rychlost světla, t je časová souřadnice (měřeno podle stacionárních hodin v nekonečnu), r je radiální souřadnice, $\textstyle d\Omega _{(2)}^{2}$ je dvousféra definovaná podle

$d\Omega _{(2)}^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}$

r_S je Schwarzschildův poloměr tělesa daný

$r_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}},$

a r_Q je charakteristická délková škála daná

$r_{Q}^{2}={\frac {Q^{2}G}{4\pi \varepsilon _{0}c^{4}}}.$

Zde 1/4πε₀ je Coulombův zákon. V limitě kde náboj Q (nebo v ekvivalentním případě, délková škála r_Q) klesne na nulu, používáme Schwarzschildovu metriku. Klasická Newtonova teorie gravitace může být získána v limitním případě, když poměrr_S/r jde k nule. V limitě, kde oba poměry r_Q/r a r_S/r jdou k nule, dostáváme Minkowského metriku pro speciální teorii relativity.

V praxi je poměr r_S/r často extrémně malý. Například Schwarzschildův poloměr Země je zhruba 9 milimetrů, zatímco geostacionární dráha na níž obíhají některé družice má poloměr r který je zhruba 4 miliardkrát větší, tedy 42 164 kilometrů. I na povrchu Země činí v tomto případě oprava Newtonovy gravitace jen jeden díl z miliardy. Poměr se stává velkým jen v blízkosti masivních a ultra hustých objektů jako jsou černé díry a neutronové hvězdy.

Nabité černé díry

Ačkoli se nabité černé díry s r_Q ≪ r_S podobají Schwarzschildovým černým dírám, mají dva horizonty: vnější horizont událostí a vnitřní Cauchyho horizont. Stejně jako v případě Schwarzschildovy metriky, horizont událostí pro prostoročas je umístěn tam, kde metrický komponent g^rr diverguje; což je když

$0=1/g^{rr}=1-{\frac {r_{\mathrm {S} }}{r}}+{\frac {r_{Q}^{2}}{r^{2}}}.$

Tato rovnice má dvě řešení:

$r_{\pm }={\frac {1}{2}}\left(r_{s}\pm {\sqrt {r_{s}^{2}-4r_{Q}^{2}}}\right).$

Tyto soustředné horizonty událostí se stávají degenerovanými pro 2r_Q = r_S, což odpovídá extrémní černé díře. Předpokládá se, že černé díry s 2r_Q > r_S v přírodě neexistují, protože by obsahovaly takzvané nahé singularity. Jejich existence by byla v rozporu s hypotézou kosmické cenzury formulovanou Rogerem Penrosem o níž se, i přes absenci přímých důkazů, předpokládá, že je pravdivá. Teorie se supersymetrií obvykle garantují, že tyto superextrémní černé díry nemohou existovat.

Elektromagnetický potenciál je

$A_{\alpha }=\left(Q/r,0,0,0\right).$

Pokud jsou v teorii zahrnuty magnetické monopóly, potom zobecnění zahrnující magnetický náboj P se získá nahrazením Q² podle Q² + P² v metrice a včetně podmínky Pcos θ dφ v elektromagnetickém potenciálu.

Reference

• REISSNER, H. Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie. Annalen der Physik. 1916, s. 106–120. DOI 10.1002/andp.19163550905. Bibcode 1916AnP...355..106R. (German) 
• NORDSTRÖM, G. On the Energy of the Gravitational Field in Einstein's Theory. Verhandl. Koninkl. Ned. Akad. Wetenschap., Afdel. Natuurk., Amsterdam. 1918, s. 1201–1208. 

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Reissner–Nordström metric na anglické Wikipedii.

Portály: Fyzika | Astronomie