Kerrova metrika

Roy Kerr

Kerrova metrika je stacionární, sféricky symetrické, vakuové řešení Einsteinových rovnic gravitace a popisuje prostoročas generovaný rotujícím hmotným tělesem. Toto řešení objevil roce 1963 novozélandský fyzik Roy Kerr.

Takové řešení je jednou z nejpřirozenějších interpretací prostoročasu v okolí kompaktních objektů jako jsou neutronové hvězdy nebo černé díry. Toto tvrzení ostatně podporuje skutečnost, že energetické zdroje kvasarů a aktivních galaktických jader jsou dnes s určitou samozřejmostí akceptovány jako akreční disky okolo obřích černých děr a nenulový moment hybnosti u takových černých děr je tedy zřejmý.

Metrika[editovat | editovat zdroj]

Kerrova metrika zapsaná v Boyerových-Lindquistových souřadnicích má tvar

$\mathrm {d} s^{2}=-\left(1-{\frac {2Mr}{\Sigma }}\right)\mathrm {d} t^{2}+{\frac {4aMr\sin ^{2}\theta }{\Sigma }}\mathrm {d} t\mathrm {d} \phi +{\frac {\Sigma }{\Delta }}\mathrm {d} r^{2}$ $\mathrm{d}s^2 = -\left(1-\frac{2Mr}{\Sigma}\right)\mathrm{d}t^2 +\frac{4aMr\sin^2\theta}{\Sigma}\mathrm{d}t\mathrm{d}\phi +\frac{\Sigma}{\Delta}\mathrm{d}r^2$ $+\Sigma \mathrm {d} \theta ^{2}+\left(r^{2}+a^{2}+{\frac {2a^{2}Mr\sin ^{2}\theta }{\Sigma }}\right)\sin ^{2}\theta \mathrm {d} \phi ^{2}$ $+ \Sigma \mathrm{d}\theta^2 + \left(r^2+a^2+\frac{2a^2Mr\sin^2\theta} {\Sigma}\right) \sin^2\theta \mathrm{d}\phi^2$

kde

$\Delta =r^{2}-2Mr+a^{2}$ $\Delta=r^{2}-2Mr+a^{2}$

$\Sigma =r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\theta$ $\Sigma=r^{2}+a^{2}\cos^{2}\theta$

kde

M je hmotnost tělesa generujícího tento prostoročas,

a je specifický moment hybnosti. Popisuje tedy rotaci černé díry.

uvažujeme přitom geometrické jednotky v nichž je c=G=1.

Toto řešení se v případě nulového úhlového momentu hybnosti a redukuje na Schwarzchildovu černou díru. Na druhou stranu, v případě že a=M dostáváme tzv. extrémní černou díru, tedy černou díru, jejíž rotace má maximální možnou hodnotu. Za touto hranicí a>M těleso přestává být černou dírou a nazývá se nahá singularita.

Vzhledem k tomu, že Kerrovo řešení je axiálně symetrické a stacionární, je jeho zápis v Boyerových-Lindquistových souřadnicích nejjednodušeji interpretovatelný. Horizonty událostí kerrovy černé díry najdeme z podmínky $\Delta =0$ $\Delta =0$ , jde tedy o místo, kde koeficient $\mathrm {d} r^{2}$ $\mathrm{d}r^2$ diverguje. Stejně přirozeně nalezneme významnou oblast ergosféru skrytou mezi vnější horizont a plochu statické limity, tu lze nalézt z podmínky $1-2Mr/\Sigma =0$ $1-2Mr/\Sigma=0$ , tedy jde o místo, kde koeficient $\mathrm {d} t^{2}$ $\mathrm{d}t^2$ zcela vymizí.