Gravitační potenciál

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Gravitační potenciál je skalární fyzikální veličina, která vyčísluje potenciální energii tělesa o jednotkové hmotnosti (v jednotkách SI 1 kg) v gravitačním poli ostatních těles. Za místo s nulovým potenciálem se obvykle bere nekonečně vzdálený bod. Hodnota gravitačního potenciálu je proto záporná.

Protože gravitační potenciál vyjadřuje měrnou energii, je jeho jednotkou v soustavě SI joule na kilogram (J/kg).

Gradientem gravitačního potenciálu je gravitační zrychlení.

Gravitační potenciál hmotného bodu a kulově souměrného tělesa[editovat | editovat zdroj]

Gravitační potenciál hmotného bodu je v newtonovské fyzice vyjádřen vzorcem

  • je gravitační konstanta (někdy označována také )
  • je hmotnost hmotného bodu
  • je vzdálenost od hmotného bodu

Stejný vzorec platí (přesně) i pro gravitační potenciál vně sféricky symetrického tělesa (nad jeho povrchem), r pak vyjadřuje vzdálenost od středu takového tělesa. Proto lze například v astronomii nahradit ve výpočtech kosmická tělesa hmotnými body.

Gravitační potenciál sféricky symetrické kulové slupky je v dutině této slupky všude stejný. Gravitační zrychlení a tedy i tíha, způsobené touto slupkou, jsou proto uvnitř nulové. To umožňuje spočítat gravitační potenciál pod povrchem planet: pro výpočet se zahrne jen hmota planety, mající větší hloubku, než místo, pro nějž se potenciál počítá (Přesně to však platí pouze tehdy, je-li v dané hloubce hustota všude stejná).

Rychlost tělesa na kruhové dráze je v tomto potenciálu rovna Keplerovské rychlosti

Úniková rychlost je

Plummerův potenciál[editovat | editovat zdroj]

Protože se hmotný bod špatně integruje, je nutné ho šikovně "rozmazat". Jedním ze způsobů, jak to udělat, je použít Plummerovu sféru, jejíž potenciál je

kde je parametr.

Z Poissonovy rovnice pak odvodíme funkční závislost hustoty na poloměru .

Přičemž tato hustota jde do nekonečna, ale nediverguje.

Kuzminův potenciál[editovat | editovat zdroj]

Analogie Plummerovy sféry ve válcových souřadnicích (opět "rozmazáváme" potenciál hmotného bodu).

  • je vzdálenost v rovině xy
  • je parametr
  • je absolutní hodnota vzdálenosti ve směru osy z.

Poissonova rovnice ve válcových souřadnicích vede na povrchovou hustotu

Miyamoto−Nagai potenciál[editovat | editovat zdroj]

Toto je zobecnění všech předchozích potenciálů.

Pokud

  • a ... přechází v potenciál hmotného bodu, neboť
  • a ... přechází v Plummerův potenciál
  • a ... přechází v Kuzminův potenciál, neboť .

Tedy pokud je , odpovídá to přibližně rozložení potenciálu disku s centrální výdutí (např. galaxie), pokud je , dostáváme přibližně potenciál koule.

Z Poissonovy rovnice lze odvodit hustota

Související články[editovat | editovat zdroj]