Osová souměrnost

Osová souměrnost je typ geometrického zobrazení. Osová souměrnost zachovává vzdálenosti (i úhly), jedná se tedy o druh shodnosti.

Definice

Osová souměrnost v rovině nebo prostoru s přímkou o jako osou (souměrnosti) je takové zobrazení, které zobrazuje prvky osy o na sebe samé a bod $A$ ležící mimo osu o s průmětem $S$ do osy o na bod $A^{\prime }$ , který se nachází na polopřímce opačné k $SA$ ve stejné vzdálenosti od $S$ jako bod $A$ (tj. platí pro něj $|SA|=|SA^{\prime }|$ ).

Útvar (ať již na přímce, v rovině nebo v prostoru) označujeme za osově souměrný, pokud je v nějaké osové souměrnosti obrazem sebe sama. Osu této souměrnosti pak nazýváme osou útvaru.

Osové souměrnosti v rovině jsou důležité, protože každá shodnost v rovině se dá složit z nejvýše tří osových souměrností.

Osovou souměrnost lze definovat i v euklidovském prostoru vyšších dimenzí, nazývá se pak obecně souměrnost podle přímky.

Příklady

Úsečka má v rovině dvě osy souměrnosti – kolmici v jejím středu a přímku, na které úsečka leží. Přímka je osově souměrná, osou je libovolná různoběžná kolmice nebo přímka sama.
Rovnoramenný trojúhelník, který není rovnostranný, má jedinou osu souměrnosti, osu jeho základny.
Trojúhelník, který není rovnoramenný, není osově souměrný.
Všechny pravidelné mnohoúhelníky jsou osově souměrné. Počet různých os souměrnosti je roven počtu vrcholů mnohoúhelníka – například rovnostranný trojúhelník má tři osy souměrnosti, čtverec čtyři, pravidelný šestiúhelník šest.
Kruh (i kružnice) jsou příkladem útvarů s nekonečně mnoha osami souměrnosti – každá přímka (v jejich rovině) procházející středem je osou souměrnosti.
Hyperbola, elipsa i parabola jsou dalšími příklady osově souměrných rovinných útvarů.

Krychle, koule, kužel nebo válec jsou příkladem osově souměrného prostorového útvaru.
Jehlan je osově souměrný pouze za předpokladu, že jeho základna je středově souměrný rovinný útvar a jeho vrchol leží na kolmici na rovinu základny procházející středem souměrnosti základny.

Vlastnosti

Osová souměrnost je sama sobě inverzním zobrazením – složením dvou osových souměrností se stejnou osou vzniká identita. Osová souměrnost je tedy (jako každá souměrnost) involucí.

Osová souměrnost v rovině mění orientaci útvarů – pokud bylo pořadí vrcholů v trojúhelníku ve směru pohybu hodinových ručiček, pak pořadí jejich obrazů v osové souměrnosti je proti směru hodinových ručiček a naopak.

Osová souměrnost v (trojrozměrném) prostoru je zároveň otočením o 180 stupňů okolo stejné osy, takže je to přímá shodnost (přemístění) a orientaci zachovává.

Body ležící na ose souměrnosti jsou právě všechny její samodružné body. Všechny přímky kolmé k ose souměrnosti jsou samodružné.

Osová souměrnost v rovině má jen dva samodružné směry – směr její osy a směr k ní kolmý. V prostoru je rovněž samodružný směr osy a každý k ní kolmý.

Související články

Odkazy

POMYKALOVÁ E. a kol., 2010: Matematika pro gymnázia – Stereometrie. Praha: Prometheus.
BOČEK L., KOČANDRLE M., SEKANINA M., ŠEDIVÝ J., 1980. Geometrie II. Praha: SPN.