Umocňování

Umocňování je matematická operace, která vychází z opakovaného násobení. Umocňování je k násobení v podobném vztahu, v jakém je samo násobení ke sčítání. Umocňování slouží ke zkrácenému zápisu vícenásobného násobení:

$\underbrace {z\cdot z\cdot z\cdots z} _{n\operatorname {-kr{\acute {a}}t} }=z^{n}$

V tomto vzorci se z označuje jako základ mocniny (mocněnec) a n se nazývá exponent (mocnitel). Výsledek je „n-tá mocnina čísla z“, „z na n-tou“. Například 3 · 3 · 3 · 3 = 81 je „tři na čtvrtou“, což zapisujeme 3⁴. Exponent může být obecně reálné, nebo dokonce komplexní číslo (viz #Definice).

Speciálním případem prázdného součinu je z⁰ = 1 (pro z ≠ 0, jinak viz #Nula na nultou). Pro nulový základ a kladný exponent (n > 0) pak platí 0ⁿ = 0.

Když z technických důvodů nelze psát exponent na horní pozici, používá se často zápis ve tvaru z^n, někdy také z**n.

Pomocí umocňování je definováno několik základních funkcí a posloupností: Mocninná funkce f(x) = a · xⁿ, exponenciální funkce f(x) = z^x, geometrická posloupnost a_n = zⁿ a funkce f(x) = x^x.

Inverzní operace k umocňování je odmocňování. Opakované umocňování je tetrace.

Definice

Mocnina s přirozeným exponentem ($n\in \mathbb {N}$) se tedy definuje jako opakované násobení, které lze zapsat rekurentně takto:

$z^{1}=z$

$z^{n+1}=z^{n}\cdot z$

Rekurentní vzorec lze obrátit a tak při nenulovém základu ($z\neq 0$) tuto definici použít i pro ostatní celé exponenty ($n\in \mathbb {Z}$):

$z^{n}={z^{n+1} \over z}$

$z^{0}={z \over z}=1$

$z^{-n}={1 \over z^{n}}=\left({1 \over z}\right)^{n}$

Definici lze dále zobecnit pro racionální exponent s využitím odmocňování:

$z^{n \over m}={\sqrt[{m}]{z^{n}}}$

Zobecnění na celý obor reálných čísel (tzn. rozšíření definice o mocniny s iracionálními exponenty) se pak dosahuje dodefinováním pomocí limity:

$z^{n}=\lim _{x\to n \atop x\in \mathbb {Q} }z^{x}$

Pro mocniny s komplexním základem $z=a+bi=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi )=r\cdot e^{i\varphi }$, kde $a,b,\varphi \in \mathbb {R}$ a $r\in \mathbb {R} _{0}^{+},$ pak platí (viz Moivrovu větu)

$z^{n}\equiv (a+bi)^{n}=(r\cdot e^{i\varphi })^{n}=r^{n}\cdot e^{i\;n\varphi }=r^{n}\cdot [\cos(n\varphi )+i\sin(n\varphi )].$

Argument $\varphi =\operatorname {Arg} z$ má nutně skok, jehož polohu však lze zvolit. Volí se zpravidla $\varphi$ z intervalu $\langle 0;2\pi )$ nebo $(-\pi ;\pi \rangle$. Komplexní mocnina s neceločíselným exponentem je tedy obecně mnohoznačná funkce a není na celé komplexní rovině holomorfní.

Pokud je navíc komplexním číslem i exponent $n$, pak je mocnina dána jako

$z^{n}=e^{n\ln z}=e^{n(i\varphi +\ln r)}.$

Alternativní definice

Užitečná definice z oblasti teorie množin říká, že pro množiny $A,B$ je $A^{B}=\{f|f:B\rightarrow A\}$ čili množina všech zobrazení množiny $B$ do množiny $A$, tedy takových zobrazení, která každému prvku z $B$ přiřazují právě jeden prvek z $A$. Jsou-li obě množiny konečné, pak počet takových zobrazení je $\left|A^{B}\right|=|A|^{|B|}$, přičemž klademe 0⁰ = 1 (viz #Nula na nultou). Příklad:

$\{0,1\}^{\{a,b\}}={\Big \{}\{a\mapsto 0;b\mapsto 0\},\{a\mapsto 0;b\mapsto 1\},\{a\mapsto 1;b\mapsto 0\},\{a\mapsto 1;b\mapsto 1\}{\Big \}}$

$\left|\{0,1\}^{\{a,b\}}\right|=|\{0,1\}|^{|\{a,b\}|}=2^{2}=4$

Mocninu $z^{n}$ s nezáporným celým základem i exponentem ($z,n\in \mathbb {N} _{0}$) lze také vyjádřit jako počet všech uspořádaných $n$-tic, jejichž složky jsou ze $z$-prvkové množiny. Toto vyjádření je velmi podobné předchozí definici, protože zobrazení $n$-prvkové množiny lze zapsat jako uspořádanou $n$-tici. Příklad:

$2^{3}=\left|\{0,1\}^{3}\right|=\left|{\Big \{}(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,1,1),(1,1,0),(1,0,1),(1,1,1){\Big \}}\right|=8$

Vlastnosti

Pro reálná nebo komplexní čísla $a,b,x,y$ platí následující vztahy (jsou-li výrazy na obou stranách definované):

• $\left(ab\right)^{x}=a^{x}\cdot b^{x}$ za podmínky, že $x$ je celé číslo nebo $\operatorname {Arg} a+\operatorname {Arg} b\in (-\pi ;\pi \rangle$, tedy že se neprojeví skok argumentu
• $\left({\frac {a}{b}}\right)^{x}={\frac {a^{x}}{b^{x}}}$ za podmínky, že $x$ je celé číslo nebo $\operatorname {Arg} a-\operatorname {Arg} b\in (-\pi ;\pi \rangle$
• $a^{x}\cdot a^{y}=a^{x+y}$
• $a^{-x}={\frac {1}{a^{x}}},\quad a\neq 0$
• ${\frac {a^{x}}{a^{y}}}=a^{x-y},\quad a\neq 0$
• $\left(a^{x}\right)^{y}=a^{x\cdot y}$ za podmínky, že $y$ je celé číslo nebo $\operatorname {Im} (x\ln a)\in (-\pi ;\pi \rangle$
• $a^{0}=1$ pro $a\neq 0$ (pro 0⁰ viz níže)

Umocňování není obecně komutativní (2³ ≠ 3²) ani asociativní: (2²)³ ≠ 2⁽²³⁾.

Mocniny nuly

Nula umocněná na kladné číslo je nula, tedy pro x > 0 je 0^x = 0.

Naproti tomu nula umocněná na záporné číslo není definována, protože takový výraz vede na dělení nulou, které není na množině reálných ani komplexních čísel definováno:

Pro x > 0 je $0^{-x}={1 \over 0^{x}}={1 \over 0}.$

Nula na nultou

Zcela obecně není výraz 0⁰ definován. Limita mocniny, jejíž základ i exponent konvergují k nule, je totiž tzv. neurčitý výraz a pro její vyčíslení je potřeba znát vztah mezi základem a exponentem. Na výraz 0⁰ se tedy lze dívat dvěma základními způsoby. První pohled na něj hledí jako na limitu funkce x⁰, která je všude kromě nuly rovna jedné, takže je možno ji v nule dodefinovat stejně a klade se 0⁰ = 1. Naopak druhý pohled vychází z funkce 0^x, která je pro všechna kladná x nulová, takže se i v nule dodefinuje 0⁰ = 0.

V běžných situacích se používá hlavně první definice (0⁰ = 1), která je vyžadována pro jednoduchý zápis mnoha vzorců:

• Aby při zápisu polynomu ve tvaru $p(x)=\sum _{k=0}^{n}{a_{k}x^{k}}$ platilo $p(0)=a_{0}$, musí být 0⁰ = 1. Podobný zápis se používá také pro mocninnou řadu.
• Obecná platnost binomické věty vyžaduje 0⁰ = 1.
• Existuje právě jedno zobrazení prázdné množiny do prázdné množiny, a to prázdné zobrazení (viz #Alternativní definice).
• Pravidlo pro derivování mocninné funkce ${\tfrac {\operatorname {d} x^{n}}{\operatorname {d} x}}=nx^{n-1}$ platí pro n = 1 v bodě x = 0 jen tehdy, když 0⁰ = 1.

Jindy je 0⁰ ponecháno nedefinované, zcela výjimečně je možno se setkat i s použitím druhé definice (0⁰ = 0).^[zdroj⁠?!]

Zvláštní mocniny

V každodenním životě často používáme mocniny o základu deset (to jsou 1, 10, 100, 1000, …). Tyto mocniny tvoří základ naší desítkové číselné soustavy, také v soustavě SI jsou předpony násobků jednotek označením mocnin deseti – 1 kg = 10³ g apod.

Velmi časté je rovněž využití druhé mocniny (a²), tj. vynásobení čísla a sama sebou. Druhá mocnina je v běžné řeči někdy označována jako čtverec, protože obsah čtverce je roven druhé mocnině délky jeho hrany (S = a²).

Počítače při zpracování dat používají dvojkovou soustavu, založenou na mocninách čísla 2. Z toho důvodu se někdy v informatice používají násobky jednotek jako mocniny o základu 2 – 1 KiB = 2¹⁰ B = 1024 B. (Viz též binární předpony.)

V matematice jsou zvlášť důležité mocniny o základu e ≅ 2,71828, takzvaného Eulerova čísla.

Související články

• Odmocnina
• Logaritmus
• Mocninná funkce
• Exponenciální funkce
• Geometrická řada
• Kořen (matematika)

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu umocňování na Wikimedia Commons
• Slovníkové heslo mocnina ve Wikislovníku

Autoritní data	LCCN: sh85046490 NLI: 987007562810505171