Přeskočit na obsah

Adjungovaná matice

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Tento článek je o matici algebraických doplňků (adjugate matrix). O synonymu matice hermitovsky sdružené – adjoint matrix pojednává článek hermitovská transpozice.

V lineární algebře se adjungovanou maticí k čtvercové matici nazývá matice, která vznikne transpozicí matice jejích algebraických doplňků. Někdy se také užívá název reciproká matice.

Součin matice se svou adjungovanou maticí dává diagonální matici, jejíž prvky na diagonále jsou rovny determinantu původní matice. V důsledku je inverzní matice k regulární matici rovna adjungované matici vydělené determinantem dané matice.

Mějme čtvercovou matici s prvky z tělesa (např. z tělesa reálných čísel) nebo i obecněji z komutativního kruhu. Označíme-li algebraický doplněk příslušný k prvku , pak adjungovaná matice je tvořena prvky:

neboli

kde je matice, která vznikne z matice vynecháním -tého řádku a -tého sloupce.

Matice řádu 1

[editovat | editovat zdroj]

Vzhledem k tomu, že determinant matice řádu 0 je 1, je adjungovaná matice libovolné matice řádu 1 rovna jednotkové matici řádu 1, neboli . I v tomto případě platí:

Matice řádu 2

[editovat | editovat zdroj]

Obecná matice řádu 2 ve tvaru

má adjungovanou matici:

Matice řádu 3

[editovat | editovat zdroj]

Obecná matice řádu 3 ve tvaru

má adjungovanou matici:

Například adjungovaná matice k matici

je:

Protože , je výsledná adjungovaná matice zároveň -násobkem inverzní matice k původní matici .

Hodnota ve druhém řádku a třetím sloupci adjungované matice je algebraickým doplňkem prvku a byla vypočítána jako součin příslušného znaménka s determinantem podmatice získané z původní matice odebráním třetího řádku a druhého sloupce:

Vlastnosti

[editovat | editovat zdroj]

Inverzní matice

[editovat | editovat zdroj]

Je-li matice regulární, potom sloupce inverzní matice jsou řešením soustav rovnic , kde na pravé straně je -tý vektor přirozené báze. Z Cramerova pravidla pak vyplývá vztah:

Ekvivalentní vztah:

lze odvodit i z Laplaceova rozvoje determinantu.

Regulární matici řádu 2 lze pak invertovat podle vzorce:

Další vlastnosti

[editovat | editovat zdroj]

Následující vztahy platí pro všechny čtvercové matice řádu nad tělesem :

  • , kde je jednotková matice.
  • , kde je nulová matice řádu . Pro nulovou matici řádu 1 však platí: .
  • pro libovolné .
  • pro libovolné .
  • pro , přičemž pro matice řádu 2 jmenovitě platí: .

Pokud matice náleží některé z následujících tříd matic, pak matice k ní adjungovaná patří do téže třídy:

Pokud je antisymetrická matice, pak je antisymetrická pro sudá a symetrická pro lichá .

Je-li regulární, pak lze vyjádřit pomocí determinantu a inverzní matice, jak bylo zmíněno výše. Pro adjungované matice k singulárním čtvercovým maticím řádu alespoň 2 platí následující vztahy:

  • Je-li , pak , kde je nulová matice řádu .
  • Je-li , pak . V tomto případě je některý ze subdeterminantů nenulový, takže je nenulová, a proto má hodnost alespoň jedna. Rovnost znamená, že dimenze nulového prostoru adjungované matice je alespoň , takže její hodnost je nejvýše jedna. Adjungovanou matici lze v tomto případě vyjádřit také jako , kde a jsou libovolná nenulová řešení homogenních soustav a , a je následně dopočítaný skalár.

V tomto článku byly použity překlady textů z článků Adjugate matrix na anglické Wikipedii a Adjunkte na německé Wikipedii.

Literatura

[editovat | editovat zdroj]
  • BÄRTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. Praha: Academia, 2006. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. Kapitola Matice, s. 180–198. 
  • BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. 1. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1. 
  • HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5. S. 39. 
  • OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 

Související články

[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy

[editovat | editovat zdroj]