Divergence (operátor)

Ve vektorovém počtu je divergence diferenciální operátor udávající zřídlovost vektorového pole. Je-li např. zkoumaným polem gradient teploty (vektory nechť udávají např. rychlost vedení tepla), potom v případě stacionárního vedení tepla kladná divergence v daném bodě znamená, že v daném bodě vzniká teplo, záporná naopak, že v daném místě teplo zaniká.

Divergence využívá Gaussova věta, která převádí výpočet toku vektorového pole uzavřenou plochou na výpočet integrálu divergence daného vektorového pole přes objem plochou uzavřený.

Definice

Jsou-li x, y, z kartézské souřadnice v 3-rozměrném Eukleidovském prostoru, a e_x, e_y, e_z je odpovídající báze jednotkových vektorů, a

$\mathbf {F} =F_{x}\mathbf {e} _{x}+F_{y}\mathbf {e} _{y}+F_{z}\mathbf {e} _{z}$

je spojitě diferencovatelné vektorové pole, potom jeho divergenci definujeme jako skalární veličinu

$\operatorname {div} \,\mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}.$

Přestože je divergence definována v kartézských souřadnicích, jde o invariantní veličinu, která nabývá stejných hodnot ve všech souřadných soustavách.

V n-rozměrném prostoru lze operátor divergence vyjádřit prostřednictvím skalárního součinu operátoru nabla na vektoru v, tzn.

$\mathrm {div} \,\mathbf {v} =\nabla \cdot \mathbf {v} =\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial v_{k}}{\partial x_{k}}}={\frac {\partial v_{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial v_{2}}{\partial x_{2}}}+\cdots +{\frac {\partial v_{n}}{\partial x_{n}}}$,

kde bylo použito Einsteinova sumačního pravidla.

Operátor divergence bývá také zapisován jako

$\mathrm {div} =\nabla \cdot$

Derivací tenzoru T n-tého řádu dostaneme tenzor řádu n+1 se složkami ${\frac {\partial \mathbf {T} _{ij\cdots rs}}{\partial x_{t}}}$. Kontrakcí indexu t proti indexu s získáme divergenci tenzoru T, což je tenzor řádu n-1.

$\mathbf {D} _{ij\cdots r}={\frac {\partial \mathbf {T} _{ij\cdots rs}}{\partial x_{s}}}$

Divergence tedy snižuje řád tenzoru o 1, např. divergencí vektoru získáme skalár.

Vlastnosti

Označíme-li F, G vektorová pole, f skalární pole, a,b reálná čísla, potom operátor divergence splňuje následující identity: Je lineární vůči reálným číslům

$\nabla \cdot (a\mathbf {F} +b\mathbf {G} )=a\;\nabla \cdot \mathbf {F} +b\;\nabla \cdot \mathbf {G} ,$

aplikována na součin funkce a vektorového pole splňuje identitu

$\nabla \cdot (f\mathbf {F} )=\nabla f\cdot \mathbf {F} +f\;\nabla \cdot \mathbf {F} =\mathrm {grad} f\cdot \mathbf {F} +f\;\mathrm {div} \mathbf {F}$.

Pro divergenci vektorového součinu platí

$\nabla \cdot (\mathbf {F} \times \mathbf {G} )=(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \mathbf {G} -\mathbf {F} \cdot (\nabla \times \mathbf {G} )=(\mathrm {rot} \,\mathbf {F} )\cdot \mathbf {G} -\mathbf {F} \cdot (\mathrm {rot} \,\mathbf {G} )$,

kde ∇ × F je rotace F.

Dále divergence rotace je rovna nule:

$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {F} )=\mathrm {div} \,\mathrm {rot} \,\mathbf {F} =0$.

Vyjádření v různých soustavách souřadnic

Následující vztahy udávají vyjádření divergence v nejrůznějších souřadných soustavách v trojrozměrném prostoru. Je-li F vektorové pole v daných souřadnicích, pak platí

Ve válcových souřadnicích:

$\nabla \cdot \mathbf {F} ={1 \over r}{\partial (rF_{r}) \over \partial r}+{1 \over r}{\partial F_{\varphi } \over \partial \varphi }+{\partial F_{z} \over \partial z}$

Ve sférických souřadnicích:

$\nabla \cdot \mathbf {F} ={1 \over r^{2}}{\partial (r^{2}F_{r}) \over \partial r}+{1 \over r\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }(F_{\theta }\sin \theta )+{1 \over r\sin \theta }{\partial F_{\varphi } \over \partial \varphi }$

Používáme-li obecně ortogonální souřadnice x₁,x₂,x₃, jejíž Laméovy koeficienty jsou po řadě h₁,h₂,h₃

$\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\left({\frac {\partial \left(h_{2}h_{3}F_{1}\right)}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial \left(h_{1}h_{3}F_{2}\right)}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial \left(h_{1}h_{2}F_{3}\right)}{\partial x_{3}}}\right)$

Ve zcela obecných souřadnicích (viz také Souřadnicový zápis vektorů) pro složky vektoru divergence platí

$\nabla _{\underline {m}}\left({F}^{k}{\frac {{\boldsymbol {\partial }}^{\underline {m}}}{{\boldsymbol {\partial }}x^{k}}}\right)={F^{k}}_{;k}={F^{k}}_{,k}+{\Gamma ^{i}}_{ij}{F^{j}}$

Úmluva: Zatímco v předchozím textu jsme za bázi brali ortonormální bázi v daných souřadnicích, ve vzorci v obecných souřadnicích používáme bázi vektorů nebo diferenciálních forem a explicitně vypisujeme jakou. Stejně tak v předchozím textu nerozlišujeme polohu indexů a všechny indexy (ortonormální báze i souřadnic) píšeme dole, zatímco v obecných souřadnicích polohu indexů důsledně rozlišujeme.

Související články

• Parciální derivace
• Nabla

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Divergence na Wikimedia Commons

Autoritní data	GND: 4528420-9

Portály: Matematika