Normální podgrupa

Normální podgrupa (známá také jako invariantní podgrupa nebo samokonjugovaná podgrupa) je v abstraktní algebře podgrupa, která je invariantní vůči konjugaci podle prvků grupy, jíž je částí. Jinými slovy podgrupa $N$ grupy $G$ je normální v $G$ právě tehdy, když $gng^{-1}\in N$ pro všechny $g\in G$ a $n\in N$. Že $N$ je normální podgrupou $G$ zapisujeme $N\triangleleft G$.

Význam normálních podgrup spočívá v tom, že normální podgrupy (a pouze normální podgrupy) lze použít pro vytvoření faktorové grupy $G/N$ dané grupy. Navíc jsou normální podgrupy grupy $G$ právě jádry grupových homomorfismů s definičním oborem $G$, což znamená, že je lze použít pro interní klasifikaci těchto homomorfismů.

První, kdo si uvědomil význam normálních podgrup, byl Évariste Galois.

Definice

Podgrupa $N$ grupy $G$ se nazývá normální podgrupa grupy $G$ (značíme $N\triangleleft G$), pokud je invariantní vůči konjugaci; tj. konjugace prvku podgrupy $N$ podle prvku grupy $G$ je vždy v $N$.

Ekvivalentní podmínky

Pro libovolnou podgrupu $N$ grupy $G$ jsou následující podmínky ekvivalentní s tím, že $N$ je normální podgrupou grupy $G$. Proto libovolnou z nich můžeme použít jako definici normální podgrupy:

• Obraz konjugace podgrupy $N$ libovolným prvkem grupy $G$ je podmnožinou $N$, tj. $gNg^{-1}\subseteq N$ pro všechny $g\in G$.
• Obraz konjugace podgrupy $N$ libovolným prvkem grupy $G$ je roven $N,$ tj. $gNg^{-1}=N$ pro všechny $g\in G$.
• Pro všechny $g\in G$ jsou si levé a pravé třídy $gN$ a $Ng$ rovné.
• Množiny levých a pravých tříd podgrupy $N$ v $G$ jsou stejné.
• Násobení v $G$ zachovává relaci ekvivalence „je ve stejné levé třídě jako“. Tj. pro každé $g,g',h,h'\in G$, které vyhovuje $gN=g'N$ a $hN=h'N$, platí $(gh)N=(g'h')N$.
• Existuje grupa na množina levých tříd podgrupy $N$ kde násobení libovolných dvou levých tříd $gN$ a $hN$ dává levou třídu $(gh)N$. Tato grupa se nazývá faktorová grupa grupy $G$ podle $N$ a značí se $G/N$.
• $N$ je sjednocením tříd konjugace grupy $G$.
• $N$ se zachovává vnitřními automorfismy grupy $G$.
• Existuje nějaký grupový homomorfismus $G\to H$ jehož jádro je $N$.
• Existuje grupový homomorfismus $\phi :G\to H$ jehož vlákna tvoří grupa kde neutrální prvek je $N$ a násobení libovolných dvou vláken $\phi ^{-1}(h_{1})$ a $\phi ^{-1}(h_{2})$ dává fiber $\phi ^{-1}(h_{1}h_{2})$ (tato grupa je tatáž grupa $G/N$ se zmínil výše).
• Existuje nějaká kongruence na $G$, jejíž třída ekvivalence neutrálního prvku je $N$.
• Pro všechny $n\in N$ a $g\in G$ je komutátor $\langle n,g\rangle =n^{-1}g^{-1}ng$ v $N$.^[zdroj?]
• Libovolné dva prvky komutují modulo relace příslušnosti k normální podgrupě.^[ujasnit] Tj. pro všechny $g,h\in G$ je $gh\in N$ právě tehdy, když $hg\in N$.^[zdroj?]

Příklady

Pro libovolnou grupu $G$ je triviální podgrupa $\{e\}$ sestávající pouze z neutrálního prvku grupy $G$ vždy normální podgrupou grupy $G$. Podobně grupa $G$ samotná je vždy normální podgrupou grupy $G$ (pokud to jsou jediné normální podgrupy, pak o $G$ říkáme, že je jednoduchá). Jiný pojmenovaný normální podgrupy libovolné grupy zahrnuje centrum grupy (množina prvků, které komutují se všemi ostatními prvky) a komutátorová podgrupa $\langle G,G\rangle$. Obecněji, protože konjugace je izomorfismus, libovolná charakteristická podgrupa je normální podgrupou.

Pokud $G$ je Abelova grupa, pak každá podgrupa $N$ grupy $G$ je normální, protože $gN=\{gn\}_{n\in N}=\{ng\}_{n\in N}=Ng$. Obecněji pro libovolnou grupu $G$, každá podgrupa centra $Z(G)$ grupy $G$ je normální v $G$ (ve speciálním případě, když $G$ je Abelova je centrum grupy celé $G$, tedy fakt, že všechny podgrupy Abelovy grupa jsou normální). Grupa, které není Abelova, ale jejíž každá podgrupa je normální, se nazývá Hamiltonovská grupa.

Konkrétní příkladem normální podgrupy je podgrupa $N=\{(1),(123),(132)\}$ symetrických grup $S_{3}$, sestávající z neutrální a oba tři-cykly. Konkrétně, můžeme kontrolovat, že každá levá třída podgrupy $N$ je jak rovno $N$ samotný nebo je rovno $(12)N=\{(12),(23),(13)\}$. Na druhou stranu, podgrupa $H=\{(1),(12)\}$ není normální v $S_{3}$, protože $(123)H=\{(123),(13)\}\neq \{(123),(23)\}=H(123)$. To demonstruje obecný fakt, že libovolná podgrupa $H\leq G$ indexu dva je normální.

Jako příklad normální podgrupy v grupě matic uvažujme obecnou lineární grupu $\mathrm {GL} _{n}(\mathbf {R} )$ všech invertovatelných matic $n\times n$ reálných čísel s operací násobení matic a její podgrupu $\mathrm {SL} _{n}(\mathbf {R} )$ všech matic $n\times n$ s determinantem 1 (speciální lineární grupa). Pro představu, proč podgrupa $\mathrm {SL} _{n}(\mathbf {R} )$ je normální v $\mathrm {GL} _{n}(\mathbf {R} )$, uvažujme libovolnou matici $X$ v $\mathrm {SL} _{n}(\mathbf {R} )$ a libovolnou invertibilní matici $A$. Pak použitím dvou důležitých identit $\det(AB)=\det(A)\det(B)$ a $\det(A^{-1})=\det(A)^{-1}$ dostáváme, že $\det(AXA^{-1})=\det(A)\det(X)\det(A)^{-1}=\det(X)=1$, takže také $AXA^{-1}\in \mathrm {SL} _{n}(\mathbf {R} )$. To znamená, že $\mathrm {SL} _{n}(\mathbf {R} )$ je uzavřená vůči konjugaci v $\mathrm {GL} _{n}(\mathbf {R} )$, takže je to normální podgrupa.

V grupě Rubikovy kostky podgrupy sestávající z operace, které ovlivňují pouze orientace buď rohových kostiček nebo hranových kostiček, jsou normální.

Grupa posunutí je normální podgrupa Eukleidovy grupy v libovolné dimenzi. To znamená, že použitím shodného zobrazení následovaného posunutím a inverzním shodným zobrazením, má stejný efekt jako samotné posunutí. Naproti tomu podgrupa všech rotací okolo počátku není normální podgrupou Eukleidovské grupy pro dvou nebo vícerozměrný prostor: provedení translace následované rotací kolem počátku a opačnou translací typicky změní počátek souřadnicového systému, a proto dá jiný výsledek než samotná rotace kolem počátku.

Vlastnosti

• Pokud $H$ je normální podgrupa grupy $G$, a $K$ je podgrupa grupy $G$ obsahující $H$, pak $H$ je normální podgrupa grupy $K$.
• Normální podgrupa normální podgrupy grupy nemusí být normální v grupě. Čili normalita není Tranzitivní relace. Nejmenší grupa vykazující toto chování je Dihedrální grupa řádu 8. Charakteristická podgrupa normální podgrupy však je normální. Grupa, v niž je normalita tranzitivní, se nazývá T-grupa.
• Dvě grupy $G$ a $H$ jsou normální podgrupy jejich přímý součin $G\times H$.
• Pokud grupa $G$ je semidirektním součinem $G=N\rtimes H$, pak $N$ je normální v $G$, ale $H$ nemusí být normální v $G$.
• Pokud $M$ a $N$ jsou normální podgrupy aditivní grupy $G$ takové, že $G=M+N$ a $M\cap N=\{0\}$, pak $G=M\oplus N$.
• Surjektivní homomorfismy zachovávají normalitu; tj., pokud $G\to H$ je surjektivní grupový homomorfismus a $N$ je normální v $G$, pak obraz $f(N)$ je normální v $H$.
• Inverzní obraz zachovává normalitu; tj., pokud $G\to H$ je grupový homomorfismus a $N$ je normální v $H$, pak inverzní obraz $f^{-1}(N)$ je normální v $G$.
• Direktní součin grup zachovává normalitu; tj., pokud $N_{1}\triangleleft G_{1}$ a $N_{2}\triangleleft G_{2}$, pak $N_{1}\times N_{2}\;\triangleleft \;G_{1}\times G_{2}$.
• Každá podgrupa indexu 2 je normální. Obecněji podgrupa $H$ konečného indexu $n$ v $G$ obsahuje podgrupu $K$, která je normální v $G$ a jejíž index dělí $n!$, která se nazývá normální jádro. Speciálně pokud $p$ je nejmenší prvočíslo dělící řád grupy $G$, pak každá podgrupa indexu $p$ je normální.
• Skutečnost, že normální podgrupy grupy $G$ jsou právě jádra grupových homomorfismů definovaných na $G$, odpovídá za některé z významů normálních podgrup; jsou způsobem, jak interně klasifikovat všechny homomorfismy definované na grupě. Například neidentity konečné grupy je jednoduchá právě tehdy, když je izomorfní se všemi svými neidentickými homomorfními obrazy; konečná grupa je dokonalá právě tehdy, když nemá žádné normální podgrupy prvočíselného indexu; grupa je nedokonalá právě tehdy, když odvozená podgrupa nemá žádnou vlastní normální podgrupu.

Svaz normálních podgrup

Jsou-li $N$ a $M$ dvě normální podgrupy grupy $G$, jejich průnik $N\cap M$ a jejich součin $NM=\{nm:n\in N\;\wedge \;m\in M\}$ je také normální podgrupa grupy $G$.

Normální podgrupy grupy $G$ tvoří svaz s relací inkluze množin s nejmenším prvkem $\{e\}$ a největším prvkem $G$. Průsek dvou normálních podgrup $N$ a $M$ v tomto svazu je jejich průnik a spojení je jejich součin.

Svaz je úplný a modulární.

Normální podgrupy, faktorové grupy a homomorfismy

Pokud $N$ je normální podgrupa grupy $G$, je možné definovat násobení na levých třídách jako zobrazení $G/N\times G/N\to G/N$ takto:

$\left(a_{1}N\right)\left(a_{2}N\right):=\left(a_{1}a_{2}\right)N$

Pro důkaz, že toto zobrazení je korektně definované, je třeba dokázat, že výsledek nezávisí na volbě reprezentantů $a_{1},a_{2}$. Za tímto účelem uvažujme jiné reprezentanty $a_{1}'\in a_{1}N,a_{2}'\in a_{2}N$. Pak existují $n_{1},n_{2}\in N$ takové, že $a_{1}'=a_{1}n_{1},a_{2}'=a_{2}n_{2}$. Odtud plyne, že

$a_{1}'a_{2}'N=a_{1}n_{1}a_{2}n_{2}N=a_{1}a_{2}n_{1}'n_{2}N=a_{1}a_{2}N,$

kde využíváme také fakt, že $N$ je normální podgrupa, a proto existuje $n_{1}'\in N$ takové, že $n_{1}a_{2}=a_{2}n_{1}'$. Tím je dokázáno, že tento součin je korektně definovaným zobrazení mezi levými třídami.

Množina levých tříd s touto operací je grupou, kterou nazýváme faktorová grupa a značíme $G/N.$ Existuje přirozená projekce $f:G\to G/N$ daná vztahem $f(a)=aN$. Tato projekce převádí $N$ na neutrální prvek grupy $G/N$, což je levá třída $eN=N$, tj. $\ker(f)=N$.

Obecně, grupový homomorfismus $f:G\to H$ zobrazuje podgrupy grupy $G$ na podgrupy grupy $H$. Také vzor libovolné podgrupy grupy $H$ je podgrupou grupy $G$. Vzor triviální grupy $\{e\}$ v $H$ nazýváme jádrem homomorfismu a značíme $\ker f$. Lze ukázat, že jádro je vždy normální a obraz $f(G)$ grupy $G$ je vždy izomorfní s $G/\ker f$ (první věta o izomorfismu). Tato korespondence je bijekcí mezi množinami všech faktorových grup $G/N$ grupy $G$, a množinou všech homomorfních obrazů grupy $G$ (až na izomorfismus). Je také zřejmé, že jádrem faktorového zobrazení $f:G\to G/N$ je samotné $N$, takže normální podgrupy jsou právě jádry homomorfismů s definičním oborem $G$.

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Normal subgroup na anglické Wikipedii.

Literatura

• BERGVALL, Olof; HYNNING, Elin; HEDBERG, Mikael; MICKELIN, Joel; MASAWE, Patrick. On Rubik's Cube [online]. KTH, 2010-05-16. Dostupné online. 
• CANTRELL, C.D., 2000. Modern Mathematical Methods for Physicists and Engineers. [s.l.]: Cambridge University Press. Dostupné online. ISBN 978-0-521-59180-5. 
• DÕMÕSI, Pál; NEHANIV, Chrystopher L., 2004. Algebraic Theory of Automata Networks. [s.l.]: SIAM. (SIAM Monographs on Discrete Mathematics and Applications). 
• DUMMIT, David S.; FOOTE, Richard M., 2004. Abstract Algebra. 3. vyd. [s.l.]: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-43334-9. 
• FRALEIGH, John B., 2003. A First Course in Abstract Algebra. 7. vyd. [s.l.]: Addison-Wesley. ISBN 978-0-321-15608-2. 
• HALL, Marshall, 1999. The Theory of Groups. Providence: Chelsea Publishing. ISBN 978-0-8218-1967-8. 
• HUNGERFORD, Thomas, 2003. Algebra. [s.l.]: Springer. (Graduate Texts in Mathematics). 
• HUNGERFORD, Thomas, 2013. Abstract Algebra: An Introduction. [s.l.]: Brooks/Cole Cengage Learning. 
• JUDSON, Thomas W., 2020. Abstract Algebra: Theory and Applications. [s.l.]: [s.n.]. Dostupné online. 
• ROBINSON, Derek J. S., 1996. A Course in the Theory of Groups. 2. vyd. [s.l.]: Springer-Verlag. (Graduate Texts in Mathematics). ISBN 978-1-4612-6443-9. 
• THURSTON, William, 1997. Three-dimensional geometry and topology, Vol. 1. [s.l.]: Princeton University Press. (Princeton Mathematical Series). ISBN 978-0-691-08304-9. 
• BRADLEY, C. J., 2010. The mathematical theory of symmetry in solids : representation theory for point groups and space groups. Oxford New York: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-958258-7. OCLC 859155300 

• HERSTEIN, I. N., 1975. Topics ion algebra. 2. vyd. Lexington, Mass.-Toronto, Ont.: Xerox College Publishing. xi+388 s. 

Související články

• Ideál (teorie okruhů)
• Ideál pologrupy

Externí odkazy

• Normální podgrupa v encyklopedii MathWorld (anglicky)
• Normal subgroup in Springer's Encyclopedia of Mathematics
• Robert Ash: Group Fundamentals in Abstract Algebra. The Basic Graduate Year
• Timothy Gowers, Normal subgroups and quotient groups
• John Baez, What's a Normal Subgroup?