Skalární součin

Skalární součin^[1] je v matematice bilineární zobrazení $V\times V\to T$ , kde $V$ je vektorový prostor nad tělesem $T$ , přiřazující dvojici vektorů skalár.

Značení

Nejběžnější způsoby zápisu skalárního součinu vektorů $\mathbf {a}$ a $\mathbf {b}$ jsou:

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b}$ – značení používané hlavně v prostorech konečné dimenze
$\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle$ – značení běžné ve funkcionální analýze
$(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )$ – starší značení, dnes již méně používané
$b\,(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )$ – $b$ jako bilineární forma
$\langle \mathbf {b} \mid \mathbf {a} \rangle$ – při použití Diracovy notace v kvantové mechanice

Definice

Operaci skalárního součinu dvou vektorů vektorového prostoru nad číselným tělesem ( $\cdot :V\times V\to T$ ) definujeme jako symetrickou pozitivně definitní bilineární formu na vektorovém prostoru, tj. v $n$ -rozměrném aritmetickém vektorovém prostoru s kanonickou bází jako:

\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+\ldots +a_{n}b_{n}

,

a definujeme-li normu libovolného vektoru vektorového prostoru jako druhou odmocninu skalárního součinu vektoru se sebou samým, pak z Cauchyho Schwarzovy a trojúhelníkové nerovnosti pro libovolné dva vektory $\mathbf {a}$ a $\mathbf {b}$ plyne nerovnost $-1\leq {\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |}}\leq 1$ , tj.:

\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =|\mathbf {a} |\,|\mathbf {b} |\ \cos \varphi

,

kde $\varphi \in \left\langle 0,\pi \right\rangle$ je úhel svíraný vektory $\mathbf {a}$ a $\mathbf {b}$ . Pro nulový skalární součin nenulových vektorů nutně platí, že svírají pravý úhel, pak říkáme, že tyto vektory jsou vzájemně ortogonální, tj. kolmé.

Skalární součin má mnoho použití mj. ve fyzice. Např. energie, kterou objekt získá pohybem v konstantním silovém poli, je rovna skalárnímu součinu vektoru změny polohy a vektoru síly. Tato formulace pokrývá řadu situací:

Nechá-li se člověk či jiné těleso unášet proudem řeky, tento proud mu předá kinetickou energii, takže získá hybnost a rychlost.
K pohybu proti proudu je třeba naopak energii vynaložit, protože skalární součin je záporný.
Při cestě šikmo (nebo téměř kolmo) na proud je účinek proudu méně výrazný, protože skalární součin bude menší (či blízký nule) i tehdy, když oba vektory jsou velké.

Tento koncept z běžného prostoru lze značně zobecnit: Libovolný vektorový prostor (např. prostor nekonečných posloupností či funkcí), který má vlastnosti podobné „běžnému“ skalárnímu součinu v „běžném“ $n$ -rozměrném prostoru, se nazývá unitární prostor. Má-li navíc úplnou metriku, nazývá se Hilbertův prostor.

Vlastnosti

pro všechny nenulové vektory $\mathbf {u} ,\mathbf {v} ,\mathbf {w} \in V$ a všechna $a\in T$ platí:

$(\mathbf {v} ,\mathbf {v} )>0$
$(\mathbf {v} ,\mathbf {0} )=(\mathbf {0} ,\mathbf {v} )=(\mathbf {0} ,\mathbf {0} )=0$
$(\mathbf {u} +\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=(\mathbf {u} ,\mathbf {v} +\mathbf {w} )=(\mathbf {u} ,\mathbf {w} )+(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )$
$(a\,\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=(\mathbf {u} ,a\,\mathbf {v} )=a\,(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )$
ve reálném vektorovém prostoru nad tělesem reálných čísel je skalární součin komutativní, tzn.:

(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=(\mathbf {v} ,\mathbf {u} )

v komplexním vektorovém prostoru nad tělesem komplexních čísel, kde pruhem je značeno komplexní sdružení, platí:

(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )={\overline {(\mathbf {v} ,\mathbf {u} )}}

(a\,\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=(\mathbf {u} ,a\,\mathbf {v} )={\overline {a}}\,(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )

Příklad

Mějme dva trojrozměrné vektory $\mathbf {a} =[1,2,3]$ a $\mathbf {b} =[4,5,6]$ . Potom jejich skalární součin je:

\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}=1\cdot 4+2\cdot 5+3\cdot 6=32

.

Aplikace

pro dva vektory $\mathbf {u} =\sum _{i=1}^{n}u^{i}\mathbf {e} _{i}$ a $\mathbf {v} =\sum _{i=1}^{n}v^{i}\mathbf {e} _{i}$ , zapsané v nějaké jedné pevně zvolené bázi $\mathbf {e}$ , lze skalární součin definovat jako: