Lebesgueova míra

Lebesgueova míra, pojmenovaná po francouzském matematikovi Henri Lebesgueovi, je v teorii míry standardní způsob přiřazení míry podmnožinám n-rozměrného eukleidovského prostoru. Pro n = 1, 2 nebo 3 se shoduje se standardní mírou délky, plochy nebo objemu. Obecně se nazývá n-rozměrný objem, n-objem nebo jednoduše objem. Lebesgueova míra se používá v analýze v reálném oboru především pro definici Lebesgueova integrálu. Množiny, kterým lze přiřadit Lebesgueovu míru, se nazývají Lebesgueovsky měřitelné; míra Lebesgueovsky měřitelné množiny A se označuje λ(A).

Henri Lebesgue popsal tuto míru v roce 1901 a následující rok vyšel jeho popis Lebesgueova integrálu. Obojí bylo publikováno jako část jeho disertace v roce 1902.

Lebesgueova míra se často značí dx; ale toto značení se nesmí zaměňovat s odlišným pojmem forma objemu.

Definice

Jestliže délku (otevřeného, uzavřeného nebo polouzavřeného) intervalu $I=\langle a,b\rangle$ označíme $l(I)=b-a$, pak pro libovolnou podmnožinu $E\subset \mathbb {R}$ definujeme její Lebesgueovu vnější míru $\lambda ^{*}(E)$ jako

$\lambda ^{*}(E)={\text{inf}}\left\{\sum _{k=1}^{\infty }l(I_{k}):{(I_{k})_{k\in \mathbb {N} }}{\text{ je posloupnost otevřených intervalů takových, že }}E\subset \bigcup _{k=1}^{\infty }I_{k}\right\}$.

Lebesgueova míra množiny E je daná její Lebesgueovou vnější mírou $\lambda (E)=\lambda ^{*}(E)$, jestliže pro každé $A\subset \mathbb {R}$,

$\lambda ^{*}(A)=\lambda ^{*}(A\cap E)+\lambda ^{*}(A\cap E^{c})$.

Příklady

• Jakýkoli uzavřený interval <a, b> reálných čísel je Lebesgueovsky měřitelný a jeho Lebesgueova míra je délka b−a. Otevřený interval (a, b) má stejnou míru, protože rozdíl uzavřeného a otevřeného intervalu sestává pouze z koncových bodů a a b a má míru nula.
• Jakýkoli kartézský součin intervalů <a, b> a <c, d> je Lebesgueovsky měřitelný a jeho Lebesgueova míra je (b−a)(d−c), tj. plocha příslušného obdélníka.
• Lebesgueova míra množiny racionálních čísel z libovolného intervalu je 0, i když množina racionálních čísel je v intervalu hustá.
• Cantorova množina je příkladem nespočetné množiny, které má Lebesgueovu míru nula.
• Vitaliho množiny jsou příkladem množin, které jsou neměřitelné pomocí Lebesgueovy míry. Jejich existence závisí na axiomu výběru.

Vlastnosti

Translační invariance: Lebesgueova míra množiny $A+t$ je stejná jako množiny $A$.

Lebesgueova míra na ℝⁿ má následující vlastnosti:

1. Jestliže A je kartézský součin intervalů I₁ × I₂ × ... × I_n, pak A je Lebesgueovsky měřitelná a $\lambda (A)=|I_{1}|\cdot |I_{2}|\cdots |I_{n}|$, kde $|I|$ označuje délku intervalu I.
2. Jestliže A je disjunktní sjednocení spočetně mnoha disjunktních Lebesgueovsky měřitelných množin, pak A je také Lebesgueovsky měřitelná a λ(A) se rovná sumě měr příslušných množin.
3. Jestliže A je Lebesgueovsky měřitelná, pak je měřitelný i její doplněk.
4. λ(A) ≥ 0 pro každou Lebesgueovsky měřitelnou množinu A.
5. Jestliže A a B jsou Lebesgueovsky měřitelné a A je podmnožina B, pak λ(A) ≤ λ(B). (Důsledek bodů 2, 3 a 4.)
6. Spočetná sjednocení a průniky Lebesgueovsky měřitelných množin jsou Lebesgueovsky měřitelné. (Toto není důsledek bodů 2 a 3, protože systém množin, který je uzavřený na doplňky a disjunktní spočetná sjednocení, nemusí být uzavřený na spočetná sjednocení: $\{\emptyset ,\{1,2,3,4\},\{1,2\},\{3,4\},\{1,3\},\{2,4\}\}$.)
7. Jestliže A je otevřený nebo uzavřený podmnožina ℝⁿ (nebo dokonce borelovská množina, viz metrický prostor), pak A je Lebesgueovsky měřitelná.
8. Jestliže A je Lebesgueovsky měřitelná množina, pak je "skoro otevřená" i "skoro uzavřená" ve smyslu Lebesgueovy míry (viz věta o regularitě pro Lebesgueovu míru).
9. Lebesgueova míra, která je lokálně konečná a vnitřně regulární, je Radonova míra.
10. Lebesgueova míra je striktně kladná na neprázdných otevřených množinách, takže její podpora je celé ℝⁿ.
11. Jestliže A je Lebesgueovsky měřitelná množina s λ(A) = 0 (množina míry nula), pak každá podmnožina A je také množina míry nula. V důsledku toho je každá podmnožina A také měřitelná.
12. Jestliže A je Lebesgueovsky měřitelná a x je prvek ℝⁿ, pak translace A by x, definovaný by A + x = {a + x : a ∈ A}, je také Lebesgueovsky měřitelná a má stejnou míru jako A.
13. Jestliže A je Lebesgueovsky měřitelná a $\delta >0$, pak dilation $A$ o $\delta$ definovaná vztahem $\delta A=\{\delta x:x\in A\}$ je také Lebesgueovsky měřitelná a má míru $\delta ^{n}\lambda \,(A).$
14. Obecněji, jestliže T je lineární transformace a A je měřitelná podmnožina ℝⁿ, pak T(A) je také Lebesgueovsky měřitelná a má míru $|\det(T)|\,\lambda \,(A)$.

Všechny výše uvedené body lze stručně shrnout takto:

Lebesgueovsky měřitelné množiny vytvářejí σ-algebru obsahující všechny součiny intervalů a λ je jednoznačná úplná translačně invariantní míra, na této σ-algebře taková, že $\lambda (\langle 0;1\rangle \times \langle 0;1\rangle \times \cdots \times \langle 0;1\rangle )=1.$

Lebesgueova míra je také σ-konečná.

Množiny míry nula

Libovolná podmnožina ℝⁿ je množinou míry nula, jestliže pro každé ε > 0 může být pokryta spočetně mnoha součiny n intervalů, jejichž celkový objem je nejvýše ε. Všechny spočetné množiny jsou množinami míry nula.

Jestliže nějaká podmnožina ℝⁿ má Hausdorffovu dimenzi menší než n, pak je to množina míry nula vzhledem k n-rozměrné Lebesgueově míře. Hausdorffova dimenze je relativní vůči Eukleidově metrice na ℝⁿ (nebo libovolné metrice s ní Lipschitzovsky ekvivalentní). Na druhou stranu, množina, která má topologickou dimenzi menší než n, může mít kladnou n-rozměrnou Lebesgueovu míru. Příkladem je Smithova-Volterraova-Cantorova množina, která má topologickou dimenzi 0, ale má kladnou 1-rozměrnou Lebesgueovu míru.

Pro důkaz, že daná množina A je Lebesgueovsky měřitelná, se obvykle snažíme nalézt "hezčí" množinu B který se od A liší nejvýše o množinu míry nula (tj. symetrická diference (A − B) $\cup$(B − A) je množina míry nula) a pak ukázat, že B lze generovat z otevřených nebo uzavřených množin pomocí spočetných sjednocení a průniků.

Konstrukce Lebesgueovy míry

Moderní konstrukce Lebesgueovy míry je aplikací Carathéodoryovy věta o rozšíření:

Nechť n ∈ N pevné. kostka v ℝⁿ je množina tvaru

$B=\prod _{i=1}^{n}\langle a_{i},b_{i}\rangle \,,$

kde b_i ≥ a_i a symbol součinu zde znamená kartézský součin. Objem této kostky je definovaný vztahem

$\operatorname {vol} (B)=\prod _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i})\,.$

Pro libovolnou podmnožinu A množiny ℝⁿ, můžeme definovat její vnější míru λ*(A) takto:

$\lambda ^{*}(A)=\inf {\Bigl \{}\sum _{B\in {\mathcal {C}}}\operatorname {vol} (B):{\mathcal {C}}{\text{ je spočetná kolekce kostek, jejichž sjednocení pokrývá }}A{\Bigr \}}.$

Pak řekneme, že množina A je Lebesgueovsky měřitelná, jestliže pro každou podmnožinu S množiny ℝⁿ,

$\lambda ^{*}(S)=\lambda ^{*}(S\cap A)+\lambda ^{*}(S-A)\,.$

Tyto Lebesgueovsky měřitelné množiny vytváří σ-algebru a Lebesgueova míra je definována vztahem λ(A) = λ*(A) pro libovolnou Lebesgueovsky měřitelnou množinu A.

Existence množin, které nejsou Lebesgueovsky měřitelné, je důsledek axiomu výběru, který je nezávislý na mnoha obvyklých systémech axiomů teorie množin. Vitaliho věta, která vyplývá z axiomu výběru, tvrdí, že existují podmnožiny ℝ, které nejsou Lebesgueovsky měřitelné. S použitím axiomu výběru lze zkonstruovat různé neměřitelné množiny s mnoha překvapivými vlastnostmi, např. Banachův-Tarského paradox.

V roce 1970 ukázal Robert M. Solovay, že existence množin, které nejsou Lebesgueovsky měřitelné, není dokazatelná v rámci Zermelovy-Fraenkelovy teorie množin bez použití axiomu výběru (viz Solovayův model).

Vztah k jiným mírám

Borelovská míra souhlasí s Lebesgueova míra na těch množinách, pro které je definovaná; ale existuje mnohem více lebesgueovsky měřitelných množin než borelovsky měřitelných množin. Borelovská míra je translačně invariantní, ale není úplná.

Haarova míra může být definována na libovolné lokálně kompaktní grupě a je zobecněním Lebesgueovy míry (ℝⁿ s přídavek je lokálně kompaktní grupa).

Hausdorffova míra je zobecněním Lebesgueovy míry na jest užitečný pro určení míry podmnožiny ℝⁿ nižších dimenzí než n, jako podvariety, například povrchy nebo křivky v ℝ³ a fraktální množiny. Nezaměňujte Hausdorffovu míru s pojetím Hausdorffovy dimenze.

Lze ukázat, že nekonečněrozměrná Lebesgueova míra neexistuje.

Související články

• Lebesgueova věta o hustotě
• Duffinova-Schaefferova domněnka
• Bardochův-Tarského paradox

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Lebesgue measure na anglické Wikipedii.

Portály: Matematika

Autoritní data	PSH: 7464