Borelovská míra

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Borelovská míra je v matematice, jmenovitě v teorii míry definována takto: nechť X je lokálně kompaktní Hausdorffův prostor a nechť \mathfrak{B}(X) je nejmenší σ-algebra tvořená otevřenými množinami z X, známá jako σ-algebra borelovských množin. Libovolná míra µ definovaná na σ-algebře borelovských množin se nazývá borelovská míra. Někteří autoři navíc vyžadují, aby µ(C) < ∞ pro každou kompaktní množinu C. Pokud je borelovská míra µ vnitřní regulární míra i vnější regulární míra, nazývá se Borelovská regulární míra (někteří autoři navíc vyžadují, aby byla těsná). Pokud je µ vnitřní regulární a lokálně konečná, nazývá se Radonova míra. Všimněte si, že lokálně konečná borelovská míra automaticky splňuje podmínku, že µ(C) < ∞ pro každou kompaktní množinu C.

Na reálné ose[editovat | editovat zdroj]

Reálná osa \mathbb R se svou obvyklou topologií je lokálně kompaktní Hausdorffův prostor, takže na ní můžeme definovat borelovskou míru. V tomto případě je \mathfrak{B}(\mathbb R) nejmenší σ-algebra obsahující otevřené intervaly množiny reálných čísel \mathbb R. Přestože existuje mnoho Borelovských měr µ, obvykle se používá míra, která přiřazuje každému intervalu <a,b> míru \mu(<a,b>)=b-a. V praxi tato borelovská míra není nejužitečnější mírou definovanou na σ-algebře borelovských množin; vskutku, Lebesgueova míra \lambda je rozšířením této borelovské míry, která je na rozdíl od borelovské míry úplná. Pro objasnění, když řekneme, že Lebesgueova míra \lambda je rozšířením borelovské míry \mu, znamená to, že každá borelovsky měřitelná (B-měřitelná) množina E je také lebesgueovsky měřitelná, a pro borelovské množiny se borelovská míra a Lebesgueova míra shoduje (tj. \lambda(E)=\mu(E) pro každou Borelovsky měřitelnou množinu).

Reference[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Borel measure na anglické Wikipedii.

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]