Wikipedista:Jirka Fiala/Pískoviště - en

Vektorové prostorová struktura

V důsledku prvních dvou výše uvedených vlastností tvoří množina všech šikmo symetrických matic pevné velikosti vektorový prostor . Prostor z ${\textstyle n\times n}$ šikmo symetrické matice má rozměr ${\textstyle {\frac {1}{2}}n(n-1).}$

Nechat ${\mbox{Mat}}_{n}$ označují prostor ${\textstyle n\times n}$ matrice. Šikmá symetrická matice je určena ${\textstyle {\frac {1}{2}}n(n-1)}$ skaláry (počet vstupů nad hlavní diagonálou ); symetrická matice je určena ${\textstyle {\frac {1}{2}}n(n+1)}$ skaláry (počet vstupů na hlavní diagonále nebo nad ní). Nechat ${\textstyle {\mbox{Skew}}_{n}}$ označují prostor ${\textstyle n\times n}$ šikmo symetrické matice a ${\textstyle {\mbox{Sym}}_{n}}$ označují prostor ${\textstyle n\times n}$ symetrické matice. Li ${\textstyle A\in {\mbox{Mat}}_{n}}$ pak

$$A={\frac {1}{2}}\left(A-A^{\mathsf {T}}\right)+{\frac {1}{2}}\left(A+A^{\mathsf {T}}\right).$$

Všimněte si toho ${\textstyle {\frac {1}{2}}\left(A-A^{\textsf {T}}\right)\in {\mbox{Skew}}_{n}}$ a ${\textstyle {\frac {1}{2}}\left(A+A^{\textsf {T}}\right)\in {\mbox{Sym}}_{n}.}$ To platí pro každou čtvercovou matici ${\textstyle A}$ se záznamy z libovolného pole, jehož charakteristika se liší od 2. Od té doby ${\textstyle {\mbox{Mat}}_{n}={\mbox{Skew}}_{n}+{\mbox{Sym}}_{n}}$ a ${\textstyle {\mbox{Skew}}_{n}\cap {\mbox{Sym}}_{n}=\{0\},}$

$${\mbox{Mat}}_{n}={\mbox{Skew}}_{n}\oplus {\mbox{Sym}}_{n},$$

kde $\oplus$ označuje přímý součet .

Označit podle ${\textstyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ na standardním vnitřním produktu $\mathbb {R} ^{n}.$ Skutečný $n\times n$ matice ${\textstyle A}$ je šikmo symetrický právě tehdy a jen tehdy

$$\langle Ax,y\rangle =-\langle x,Ay\rangle \quad {\text{ for all }}x,y\in \mathbb {R} ^{n}.$$

To je také ekvivalentní ${\textstyle \langle x,Ax\rangle =0}$ pro všechny $x\in \mathbb {R} ^{n}$ (jedna implikace je zřejmá, druhá prostý důsledek ${\textstyle \langle x+y,A(x+y)\rangle =0}$ pro všechny $x$ a $y$ ).

Vzhledem k tomu, že tato definice je nezávislá na volbě základu, je šikmá symetrie vlastnost, která závisí pouze na lineárním operátoru ${\boldsymbol {A}}$ a výběr vnitřního produktu .

$3\times 3$ šikmé symetrické matice lze použít k reprezentaci křížových produktů jako násobení matic.

Dále, pokud ${\boldsymbol {A}}$ je šikmo symetrická (nebo šikmo-hermitovská ) matice $x^{T}Ax=0$ pro všechny $x\in \mathbb {C} ^{n}$ .

Determinant

Nechat ${\boldsymbol {A}}$ být $n\times n$ šikmo symetrická matice. Určující faktor ${\boldsymbol {A}}$ splňuje

$\det \left(A^{\textsf {T}}\right)=\det(-A)=(-1)^{n}\det(A).$

Zejména pokud $n$ je liché, a protože základní pole nemá charakteristiku 2, determinant zmizí. Všechny symetrické matice s lichým zkosením rozměrů jsou tedy singulární, protože jejich determinanty jsou vždy nulové. Tento výsledek se nazývá Jacobiho věta podle Carla Gustava Jacobiho (Eves, 1980).

Případ sudých rozměrů je zajímavější. Ukazuje se, že determinant ${\boldsymbol {A}}$ pro $n$ dokonce lze zapsat jako druhou mocninu polynomu v heslech of ${\boldsymbol {A}}$, což bylo poprvé prokázáno Cayley:

$\det(A)=\operatorname {Pf} (A)^{2}.$

Tento polynom se nazývá Pfaffian of ${\boldsymbol {A}}$ a je označeno $\operatorname {Pf} (A)$ . Takže determinant skutečné šikmo symetrické matice je vždy nezáporný. Tento poslední fakt lze však elementárně dokázat následovně: vlastní čísla reálné šikmo symetrické matice jsou čistě imaginární (viz níže) a každému vlastnímu číslu odpovídá konjugované vlastní číslo se stejnou násobností; jelikož je tedy determinant součinem vlastních čísel, z nichž každé se opakuje podle své násobnosti, okamžitě z toho vyplývá, že determinant, pokud není 0, je kladné reálné číslo.

Počet odlišných termínů $s(n)$ v expanzi determinantu šikmo symetrické matice řádu $n$ již zvažovali Cayley, Sylvester a Pfaff. V důsledku zrušení je toto číslo poměrně malé ve srovnání s počtem termínů obecné matice objednávky $n$, který je $n!$ . Sekvence Nelze pochopit (syntaktická chyba): {\displaystyle s(n)}}1} je

1, 0, 1, 0, 6, 0, 120, 0, 5250, 0, 395010, 0, …

a je zakódován v exponenciální generující funkci

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {s(n)}{n!}}x^{n}=\left(1-x^{2}\right)^{-{\frac {1}{4}}}\exp \left({\frac {x^{2}}{4}}\right).$

Ten se podvolí asymptotice (např $n$ dokonce)

$s(n)=\pi ^{-{\frac {1}{2}}}2^{\frac {3}{4}}\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)\left({\frac {n}{e}}\right)^{n-{\frac {1}{4}}}\left(1+O\left({\frac {1}{n}}\right)\right).$

Počet kladných a záporných členů je přibližně poloviční z celkového počtu, i když jejich rozdíl nabývá stále větších kladných a záporných hodnot. Nelze pochopit (syntaktická chyba): {\displaystyle n}}1} .

Křížový produkt

Šikmé symetrické matice tři krát tři lze použít k reprezentaci křížových součinů jako násobení matic. Zvažte vektory ${\textstyle {\boldsymbol {a}}=\left(a_{1}\ a_{2}\ a_{3}\right)^{\textsf {T}}}$ a ${\textstyle {\boldsymbol {b}}=\left(b_{1}\ b_{2}\ b_{3}\right)^{\textsf {T}}.}$ Poté definujte matici

$[{\boldsymbol {a}}]_{\times }={\begin{bmatrix}\,\,0&\!-a_{3}&\,\,\,a_{2}\\\,\,\,a_{3}&0&\!-a_{1}\\\!-a_{2}&\,\,a_{1}&\,\,0\end{bmatrix}},$

křížový součin lze zapsat jako

${\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}}=[{\boldsymbol {a}}]_{\times }{\boldsymbol {b}}.$

To lze okamžitě ověřit výpočtem obou stran předchozí rovnice a porovnáním každého příslušného prvku výsledků.

Jeden vlastně má

$[{\boldsymbol {a\times b}}]_{\times }=[{\boldsymbol {a}}]_{\times }[{\boldsymbol {b}}]_{\times }-[{\boldsymbol {b}}]_{\times }[{\boldsymbol {a}}]_{\times };$

tj. komutátor šikmo symetrických matic tři-tři lze identifikovat s křížovým součinem tří vektorů. Protože šikmo symetrické matice tři-by-tři jsou Lieovou algebrou grupy rotace ${\textstyle SO(3)}$ to objasňuje vztah mezi trojprostorem ${\textstyle \mathbb {R} ^{3}}$, křížový součin a trojrozměrné rotace. Více o infinitezimálních rotacích naleznete níže.

Spektrální teorie

Protože je matice podobná své vlastní transpozici, musí mít stejná vlastní čísla. Z toho vyplývá, že vlastní hodnoty šikmo symetrické matice vždy přicházejí v párech ±λ (kromě případu lichých rozměrů, kde existuje další nepárová vlastní hodnota 0). Ze spektrální věty jsou pro skutečnou šikmo symetrickou matici všechna nenulová vlastní čísla čistě imaginární, a proto mají tvar $\lambda _{1}i,-\lambda _{1}i,\lambda _{2}i,-\lambda _{2}i,\ldots$ kde každý z $\lambda _{k}$ jsou skutečné.

Skutečné šikmo symetrické matice jsou normální matice (komutují se svými sousedy ) a podléhají tak spektrální větě, která říká, že jakákoli skutečná šikmá symetrická matice může být diagonalizována nečleněnou maticí . Protože vlastní čísla reálné šikmo symetrické matice jsou imaginární, není možné je diagonalizovat reálnou maticí. Každou šikmo symetrickou matici je však možné přivést speciální ortogonální transformací do blokové diagonální formy. Konkrétně každý $2n\times 2n$ skutečnou šikmou symetrickou matici lze zapsat ve tvaru ${\boldsymbol {A}}=Q\Sigma Q^{\textsf {T}}$ kde ${\boldsymbol {Q}}$ je ortogonální a

$\Sigma ={\begin{bmatrix}{\begin{matrix}0&\lambda _{1}\\-\lambda _{1}&0\end{matrix}}&0&\cdots &0\\0&{\begin{matrix}0&\lambda _{2}\\-\lambda _{2}&0\end{matrix}}&&0\\\vdots &&\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &{\begin{matrix}0&\lambda _{r}\\-\lambda _{r}&0\end{matrix}}\\&&&&{\begin{matrix}0\\&\ddots \\&&0\end{matrix}}\end{bmatrix}}$

pro skutečné pozitivní-určité $\lambda _{k}$ . Nenulová vlastní čísla této matice jsou ±λ _{$k$} $i$ . V případě lichých rozměrů má Σ vždy alespoň jeden řádek a sloupec nul.

Obecněji řečeno, každá komplexní šikmo symetrická matice může být zapsána ve formě ${\boldsymbol {A}}=U\Sigma U^{\mathrm {T} }$ kde ${\boldsymbol {U}}$ je jednotný a $\Sigma$ má blokovou diagonální formu uvedenou výše s Nelze pochopit (syntaktická chyba): {\displaystyle \lambda_k}}1} </ref>

Šikmé symetrické a střídavé formy

Šikmo symetrický tvar $\varphi$ na vektorovém prostoru ${\boldsymbol {V}}$ přes pole ${\boldsymbol {K}}$ libovolné charakteristiky je definována jako bilineární forma

$\varphi :V\times V\mapsto K$

takové, že pro všechny $v,w$ v ${\boldsymbol {V}},$

$\varphi (v,w)=-\varphi (w,v).$

Toto definuje formu s požadovanými vlastnostmi pro vektorové prostory nad poli charakteristiky, která se nerovná 2, ale ve vektorovém prostoru nad polem charakteristiky 2 je definice ekvivalentní definici symetrické formy, protože každý prvek je svou vlastní aditivní inverzí. .

Kde vektorový prostor ${\boldsymbol {V}}$ je nad polem libovolné charakteristiky včetně charakteristiky 2, můžeme definovat alternující formu jako bilineární formu $\varphi$ tak, že pro všechny vektory $v$ v ${\boldsymbol {V}}$

$\varphi (v,v)=0.$

To je ekvivalentní šikmo symetrické formě, když pole nemá charakteristiku 2, jak je vidět z

$0=\varphi (v+w,v+w)=\varphi (v,v)+\varphi (v,w)+\varphi (w,v)+\varphi (w,w)=\varphi (v,w)+\varphi (w,v),$

odkud

$\varphi (v,w)=-\varphi (w,v).$

Bilineární forma $\varphi$ bude reprezentován maticí ${\boldsymbol {A}}$ takové, že $\varphi (v,w)=v^{\textsf {T}}Aw$, jednou základem ${\boldsymbol {V}}$ je vybrán, a naopak an $n\times n$ matice ${\boldsymbol {A}}$ na ${\boldsymbol {K}}^{n}$ vyvolá odeslání formuláře $(v,w)$ na $v^{\textsf {T}}Aw.$ Pro každou ze symetrických, šikmo symetrických a střídavých forem jsou reprezentující matice symetrické, šikmo symetrické a střídavé.

Bez souřadnic

Více vnitřně (tj., bez použití souřadnic), šikmo-symetrické lineární transformace na vektorovém prostoru ${\boldsymbol {V}}$ s vnitřním součinem lze definovat jako bivektory na prostoru, což jsou součty jednoduchých bivektorů ( 2 lopatky ) ${\textstyle v\wedge w.}$ Korespondence je dána mapou ${\textstyle v\wedge w\mapsto v^{*}\otimes w-w^{*}\otimes v,}$ kde ${\textstyle v^{*}}$ je covektor duální k vektoru ${\textstyle v}$ ; v ortonormálních souřadnicích jsou to přesně ty elementární šikmo symetrické matice. Tato charakterizace se používá při interpretaci zvlnění vektorového pole (přirozeně 2-vektorového) jako infinitezimální rotace nebo „kroucení“, odtud název.

Symetrizovatelná matice

An $n\times n$ matice ${\boldsymbol {A}}$ se říká, že je šikmo symetrizovatelný, pokud existuje invertibilní diagonální matice ${\boldsymbol {D}}$ takové, že ${\boldsymbol {D}}A$ je šikmo symetrický. Opravdu $n\times n$ matrice, někdy podmínkou pro ${\boldsymbol {D}}$ mít kladné položky je přidán.

Viz také

• Cayleyho transformace
• Symetrická matice
• Šikmá-hermitovská matice
• Sympletická matice
• Symetrie v matematice

[[Kategorie:Matice]]