Taylorův rozvoj stupně 1 3 5 7 9 11 13 sin(x) . Sin(x) je vyznačen černě. Taylorova řada je v matematice zvláštní mocninná řada .
Za určitých předpokladů o funkci f(x) v okolí bodu a lze tuto funkci vyjádřit (rozvinout) jako mocninnou řadu. Toto vyjádření funkce prostřednictvím Taylorovy řady se označuje jako Taylorův rozvoj . Pokud se jedná o rozvoj v okolí bodu 0, mluvíme o Maclaurinově řadě .
Pro přibližné vyjádření hodnot funkce není nutné vyjadřovat všechny členy Taylorovy řady, ale můžeme zanedbat členy s vyššími derivacemi. Získáme tím tzv. Taylorův polynom . Taylorův polynom tedy aproximuje hodnoty funkce , která má v daném bodě derivaci , pomocí polynomu , jehož koeficienty závisí na derivacích funkce v tomto bodě.
Řada je pojmenována po anglickém matematikovi Brooku Taylorovi , který ji publikoval v roce 1712, avšak metoda aproximace funkce mocninnou řadou byla objevena již roku 1671 Jamesem Gregorym .
V případě existence všech konečných derivací funkce
f
{\displaystyle f}
a
{\displaystyle a}
f
(
x
)
=
f
(
a
)
+
f
′
(
a
)
1
!
(
x
−
a
)
+
f
′
′
(
a
)
2
!
(
x
−
a
)
2
+
f
(
3
)
(
a
)
3
!
(
x
−
a
)
3
+
.
.
.
=
∑
k
=
0
∞
f
(
k
)
(
a
)
k
!
(
x
−
a
)
k
{\displaystyle f(x)=f(a)+{\frac {f^{\prime }(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f^{\prime \prime }(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+...=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}}
Má-li funkce
f
{\displaystyle f}
a
{\displaystyle a}
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle n}
f
{\displaystyle f}
a
{\displaystyle a}
T
n
f
,
a
(
x
)
=
f
(
a
)
+
f
′
(
a
)
1
!
(
x
−
a
)
+
f
′
′
(
a
)
2
!
(
x
−
a
)
2
+
…
+
f
(
n
)
(
a
)
n
!
(
x
−
a
)
n
=
∑
k
=
0
n
f
(
k
)
(
a
)
k
!
(
x
−
a
)
k
{\displaystyle T_{n}^{f,a}(x)=f(a)+{\frac {f^{\prime }(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f^{\prime \prime }(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\ldots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}}
kde nultou derivací je myšlena samotná funkce, tzn.
f
(
0
)
=
f
{\displaystyle f^{(0)}=f}
Taylorův polynom je tedy speciálním případem Taylorovy řady, který získáme tehdy, jsou-li od určitého
n
{\displaystyle n}
nulové .
Rozvoj funkce
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
a
{\displaystyle a}
(
n
+
1
)
{\displaystyle (n+1)}
Taylorovy věty , která říká, že takovéto funkce lze v okolí bodu
a
{\displaystyle a}
f
(
x
)
=
f
(
a
)
+
f
′
(
a
)
1
!
(
x
−
a
)
+
f
′
′
(
a
)
2
!
(
x
−
a
)
2
+
.
.
.
+
f
(
n
)
(
a
)
n
!
(
x
−
a
)
n
+
R
n
+
1
f
,
a
(
x
)
{\displaystyle f(x)=f(a)+{\frac {f^{\prime }(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f^{\prime \prime }(a)}{2!}}{(x-a)}^{2}+...+{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}{(x-a)}^{n}+R_{n+1}^{f,a}(x)}
Nechť je funkce
φ
{\displaystyle \varphi }
a
{\displaystyle a}
c
{\displaystyle c}
R
n
+
1
f
,
a
(
x
)
=
1
n
!
φ
(
x
)
−
φ
(
a
)
φ
′
(
c
)
f
(
n
+
1
)
(
c
)
(
x
−
c
)
n
{\displaystyle R_{n+1}^{f,a}(x)={\frac {1}{n!}}{\frac {\varphi (x)-\varphi (a)}{\varphi ^{\prime }(c)}}f^{(n+1)}(c)(x-c)^{n}}
Speciálně lze zbytek
R
n
+
1
{\displaystyle R_{n+1}}
R
n
+
1
f
,
a
(
x
)
=
f
(
n
+
1
)
(
c
)
(
n
+
1
)
!
(
x
−
a
)
n
+
1
{\displaystyle R_{n+1}^{f,a}(x)={\frac {f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}}{(x-a)}^{n+1}}
Lagrangeův tvar zbytku , tedy
φ
(
t
)
=
(
x
−
t
)
n
+
1
{\displaystyle \varphi (t)=(x-t)^{n+1}}
R
n
+
1
f
,
a
(
x
)
=
1
n
!
f
(
n
+
1
)
(
c
)
(
x
−
c
)
n
(
x
−
a
)
{\displaystyle R_{n+1}^{f,a}(x)={\frac {1}{n!}}f^{(n+1)}(c)(x-c)^{n}(x-a)}
Cauchyův tvar zbytku , tedy
φ
(
t
)
=
t
{\displaystyle \varphi (t)=t}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
konverguje v bodě
x
{\displaystyle x}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
lim
n
→
∞
R
n
f
,
a
(
x
)
=
0
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }R_{n}^{f,a}(x)=0}
Pro funkci
f
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
)
{\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})}
A
=
[
a
1
,
a
2
,
.
.
.
,
a
n
]
{\displaystyle A=[a_{1},a_{2},...,a_{n}]}
totálních diferenciálů jako
f
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
)
=
f
(
a
1
,
a
2
,
.
.
.
,
a
n
)
+
d
f
(
a
1
,
a
2
,
.
.
.
,
a
n
)
1
!
+
d
2
f
(
a
1
,
a
2
,
.
.
.
,
a
n
)
2
!
+
.
.
.
+
d
n
f
(
a
1
,
a
2
,
.
.
.
,
a
n
)
n
!
+
R
n
+
1
f
,
a
{\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=f(a_{1},a_{2},...,a_{n})+{\frac {\mathrm {d} f(a_{1},a_{2},...,a_{n})}{1!}}+{\frac {\mathrm {d} ^{2}f(a_{1},a_{2},...,a_{n})}{2!}}+...+{\frac {\mathrm {d} ^{n}f(a_{1},a_{2},...,a_{n})}{n!}}+R_{n+1}^{f,a}}
kde funkci
R
n
+
1
f
,
a
{\displaystyle R_{n+1}^{f,a}}
n -tým členem, lze vyjádřit ve tvaru
R
n
+
1
f
,
a
=
d
n
+
1
f
(
a
1
+
Θ
(
x
1
−
a
1
)
,
a
2
+
Θ
(
x
2
−
a
2
)
,
.
.
.
,
a
n
+
Θ
(
x
n
−
a
n
)
)
(
n
+
1
)
!
{\displaystyle R_{n+1}^{f,a}={\frac {\mathrm {d} ^{n+1}f(a_{1}+\Theta (x_{1}-a_{1}),a_{2}+\Theta (x_{2}-a_{2}),...,a_{n}+\Theta (x_{n}-a_{n}))}{(n+1)!}}}
pro
Θ
∈
(
0
,
1
)
{\displaystyle \Theta \in (0,1)}
Pro
a
=
0
{\displaystyle a=0}
řadu Maclaurinovu , tedy
f
(
x
)
=
f
(
0
)
+
∑
n
=
1
∞
f
(
n
)
(
0
)
n
!
x
n
{\displaystyle f(x)=f(0)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}x^{n}}
Maclaurinova řada polynomu je tentýž polynom.
aproximovanou hodnotu funkce
e
x
{\displaystyle \mathrm {e} ^{x}}
x
=
0
{\displaystyle x=0}
n členů Taylorova rozvoje, čímž získáme Taylorův polynom stupně n−1 Taylorův rozvoj:
e
x
=
1
+
x
+
x
2
2
!
+
x
3
3
!
+
⋯
=
∑
i
=
0
∞
x
i
i
!
pro
x
∈
(
−
∞
,
∞
)
{\displaystyle \mathrm {e} ^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots =\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {x^{i}}{i!}}\;{\mbox{ pro }}x\in (-\infty ,\infty )}
aproximovaná hodnota funkce:
e
x
≈
1
+
x
+
x
2
2
!
+
x
3
3
!
+
⋯
+
x
n
(
n
)
!
.
{\displaystyle {\textrm {e}}^{x}\approx 1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{(n)!}}.}
1
1
−
x
=
1
+
x
+
x
2
+
x
3
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
x
n
pro
x
∈
(
−
1
,
1
)
{\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n}}\;{\mbox{ pro }}x\in (-1,1)}
(
1
+
x
)
r
=
1
+
(
r
1
)
x
+
(
r
2
)
x
2
+
(
r
3
)
x
3
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
(
r
n
)
x
n
pro
r
∈
R
,
x
∈
(
−
1
,
1
)
{\displaystyle {(1+x)}^{r}=1+{r \choose 1}x+{r \choose 2}x^{2}+{r \choose 3}x^{3}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{r \choose n}x^{n}\;{\mbox{ pro }}r\in \mathbb {R} ,x\in (-1,1)}
(
r
n
)
=
∏
k
=
1
n
r
−
k
+
1
k
=
r
⋅
(
r
−
1
)
⋅
⋅
⋅
(
r
−
n
+
1
)
n
!
{\displaystyle {\binom {r}{n}}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {r-k+1}{k}}={\frac {r\cdot (r-1)\cdot \cdot \cdot (r-n+1)}{n!}}}
ln
(
1
+
x
)
=
x
−
x
2
2
+
x
3
3
−
x
4
4
+
x
5
5
−
⋯
=
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
+
1
x
n
n
pro
x
∈
(
−
1
,
1
⟩
{\displaystyle \ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n+1}{\frac {x^{n}}{n}}\;{\mbox{ pro }}x\in (-1,1\rangle }
a
x
=
1
+
x
ln
a
1
!
+
x
2
ln
2
a
2
!
+
x
3
ln
3
a
3
!
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
(
x
ln
a
)
n
n
!
pro
a
>
0
,
x
∈
(
−
∞
,
∞
)
{\displaystyle a^{x}=1+{\frac {x\ln a}{1!}}+{\frac {x^{2}\ln ^{2}a}{2!}}+{\frac {x^{3}\ln ^{3}a}{3!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{(x\ln a)}^{n}}{n!}}\;{\mbox{ pro }}a>0,x\in (-\infty ,\infty )}
ln
1
+
x
1
−
x
=
2
[
x
+
x
3
3
+
x
5
5
+
x
7
7
+
⋯
]
=
2
∑
n
=
0
∞
x
2
n
+
1
2
n
+
1
x
∈
(
−
1
,
1
)
{\displaystyle \ln {\frac {1+x}{1-x}}=2\left[x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \right]=2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}\;x\in (-1,1)}
Goniometrické funkce :
sin
x
=
x
−
x
3
3
!
+
x
5
5
!
−
x
7
7
!
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
!
pro
x
∈
(
−
∞
,
∞
)
{\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\;{\mbox{ pro }}x\in (-\infty ,\infty )}
cos
x
=
1
−
x
2
2
!
+
x
4
4
!
−
x
6
6
!
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
(
2
n
)
!
pro
x
∈
(
−
∞
,
∞
)
{\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}\;{\mbox{ pro }}x\in (-\infty ,\infty )}
tg
x
=
x
+
1
3
x
3
+
2
15
x
5
+
17
315
x
7
+
⋯
pro
x
∈
(
−
π
2
,
π
2
)
{\displaystyle \operatorname {tg} \,x=x+{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}+{\frac {17}{315}}x^{7}+\cdots \;{\mbox{ pro }}x\in (-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}})}
cotg
x
=
1
x
−
1
3
x
−
1
45
x
3
−
2
945
x
5
−
⋯
pro
x
∈
(
0
,
π
)
{\displaystyle \operatorname {cotg} \,x={\frac {1}{x}}-{\frac {1}{3}}x-{\frac {1}{45}}x^{3}-{\frac {2}{945}}x^{5}-\cdots \;{\mbox{ pro }}x\in (0,\pi )}
Cyklometrické funkce :
arcsin
x
=
x
+
1
2
x
3
3
+
1
2
3
4
x
5
5
+
1
2
3
4
5
6
x
7
7
+
⋯
=
x
+
∑
n
=
1
∞
(
2
n
−
1
)
!
!
(
2
n
)
!
!
x
2
n
+
1
2
n
+
1
pro
x
∈
⟨
−
1
,
1
⟩
{\displaystyle \operatorname {arcsin} \,x=x+{\frac {1}{2}}{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {1}{2}}{\frac {3}{4}}{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {1}{2}}{\frac {3}{4}}{\frac {5}{6}}{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots =x+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}\;{\mbox{ pro }}x\in \langle -1,1\rangle }
arccos
x
=
π
2
−
arcsin
x
=
π
2
−
x
−
1
2
x
3
3
−
1
2
3
4
x
5
5
−
1
2
3
4
5
6
x
7
7
+
⋯
=
π
2
−
x
−
∑
n
=
1
∞
(
2
n
−
1
)
!
!
(
2
n
)
!
!
x
2
n
+
1
2
n
+
1
pro
x
∈
⟨
−
1
,
1
⟩
{\displaystyle \operatorname {arccos} \,x={\frac {\pi }{2}}-\arcsin \,x={\frac {\pi }{2}}-x-{\frac {1}{2}}{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {1}{2}}{\frac {3}{4}}{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {1}{2}}{\frac {3}{4}}{\frac {5}{6}}{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots ={\frac {\pi }{2}}-x-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}\;{\mbox{ pro }}x\in \langle -1,1\rangle }
arctg
x
=
x
−
x
3
3
+
x
5
5
−
x
7
7
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
+
1
2
n
+
1
pro
x
∈
⟨
−
1
,
1
⟩
{\displaystyle \operatorname {arctg} \,x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}\;{\mbox{ pro }}x\in \langle -1,1\rangle }
Hyperbolické funkce :
sinh
x
=
x
+
x
3
3
!
+
x
5
5
!
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
!
pro
x
∈
(
−
∞
,
∞
)
{\displaystyle \sinh x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\;{\mbox{ pro }}x\in (-\infty ,\infty )}
cosh
x
=
1
+
x
2
2
!
+
x
4
4
!
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
x
2
n
(
2
n
)
!
pro
x
∈
(
−
∞
,
∞
)
{\displaystyle \cosh x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}\;{\mbox{ pro }}x\in (-\infty ,\infty )}
tanh
x
=
x
−
1
3
x
3
+
2
15
x
5
−
17
135
x
7
+
⋅
⋅
⋅
pro
x
∈
(
−
π
2
,
π
2
)
{\displaystyle \tanh \,x=x-{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}-{\frac {17}{135}}x^{7}+\cdot \cdot \cdot \;{\mbox{ pro }}x\in {\Bigl (}-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}{\Bigr )}}
Hyperbolometrické funkce :
arcsinh
x
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
)
!
4
n
(
n
!
)
2
(
2
n
+
1
)
x
2
n
+
1
pro
x
∈
⟨
−
1
,
1
⟩
{\displaystyle \operatorname {arcsinh} \,x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}\;{\mbox{ pro }}x\in \langle -1,1\rangle }
arctanh
x
=
∑
n
=
0
∞
x
2
n
+
1
2
n
+
1
pro
x
∈
(
−
1
,
1
)
{\displaystyle \operatorname {arctanh} \,x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}\;{\mbox{ pro }}x\in (-1,1)}
Pro výpočet Taylorova polynomu složitějších funkcí se používá několik metod. Dá se počítat přímo z definice, což ale vyžaduje výpočet derivací vyšších řádů, které mohou být složité. Častěji se používá substituce, násobení , dělení, sčítání nebo odčítání Taylorových polynomů známých funkcí.
Chceme spočítat Taylorův polynom řádu 7 v bodě 0 funkce
f
(
x
)
=
ln
(
cos
(
x
)
)
{\displaystyle f(x)=\ln(\cos(x))}
f
(
x
)
=
ln
(
1
+
(
cos
(
x
)
−
1
)
)
.
{\displaystyle f(x)=\ln(1+(\cos(x)-1)).}
Taylorův polynom přirozeného logaritmu je
ln
(
1
+
z
)
=
z
−
z
2
2
+
z
3
3
+
O
(
z
4
)
{\displaystyle \ln(1+z)=z-{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{3}}+O(z^{4})}
z
=
cos
(
x
)
−
1
=
−
x
2
2
+
x
4
24
−
x
6
720
+
O
(
x
8
)
{\displaystyle z=\cos(x)-1=-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}-{\frac {x^{6}}{720}}+O(x^{8})}
Landauovu notaci ).
Nyní využijeme substituce vnitřní funkce a vynecháme členy stupně vyššího než 7 díky použití notace velké O:
f
(
x
)
=
ln
(
1
+
(
cos
x
−
1
)
)
=
(
cos
x
−
1
)
−
1
2
(
cos
x
−
1
)
2
+
1
3
(
cos
x
−
1
)
3
+
O
(
(
cos
x
−
1
)
4
)
=
(
−
x
2
2
+
x
4
24
−
x
6
720
+
O
(
x
8
)
)
−
1
2
(
−
x
2
2
+
x
4
24
+
O
(
x
6
)
)
2
+
1
3
(
−
x
2
2
+
O
(
x
4
)
)
3
+
O
(
x
8
)
=
{\displaystyle f(x)=\ln(1+(\cos \,x-1))=(\cos \,x-1)-{\frac {1}{2}}(\cos \,x-1)^{2}+{\frac {1}{3}}(\cos \,x-1)^{3}+O((\cos \,x-1)^{4})={\Bigl (}-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}-{\frac {x^{6}}{720}}+O(x^{8}){\Bigr )}-{\frac {1}{2}}{\Bigl (}-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}+O(x^{6}){\Bigr )}^{2}+{\frac {1}{3}}{\Bigl (}-{\frac {x^{2}}{2}}+O(x^{4}){\Bigr )}^{3}+O(x^{8})=}
=
−
x
2
2
+
x
4
24
−
x
6
720
−
x
4
8
+
x
6
48
−
x
6
24
+
O
(
x
8
)
=
−
x
2
2
−
x
4
12
−
x
6
45
+
O
(
x
8
)
{\displaystyle =-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}-{\frac {x^{6}}{720}}-{\frac {x^{4}}{8}}+{\frac {x^{6}}{48}}-{\frac {x^{6}}{24}}+O(x^{8})=-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{4}}{12}}-{\frac {x^{6}}{45}}+O(x^{8})}
Na závěr si můžeme všimnout, že koeficienty u
x
,
x
3
,
x
5
,
x
7
,
⋅
⋅
⋅
{\displaystyle x,x^{3},x^{5},x^{7},\cdot \cdot \cdot }
kosinus je sudá funkce.
Chceme spočítat Taylorův polynom funkce
g
(
x
)
=
e
x
cos
x
{\displaystyle g(x)={\frac {e^{x}}{\cos \,x}}}
Máme známé Taylorovy polynomy:
e
x
=
1
+
x
+
x
2
2
!
+
x
3
3
!
+
x
4
4
!
+
O
(
x
4
)
{\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+O(x^{4})}
cos
x
=
1
−
x
2
2
!
+
x
4
4
!
+
O
(
x
4
)
{\displaystyle \cos \,x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+O(x^{4})}
metodu neurčitých koeficientů .
Předpokládejme, že platí
e
x
cos
x
=
c
0
+
c
1
x
+
c
2
x
2
+
c
3
x
3
+
c
4
x
4
+
⋅
⋅
⋅
{\displaystyle {\frac {e^{x}}{\cos \,x}}=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+c_{4}x^{4}+\cdot \cdot \cdot }
e
x
=
(
c
0
+
c
1
x
+
c
2
x
2
+
c
3
x
3
+
c
4
x
4
)
cos
x
=
(
c
0
+
c
1
x
+
c
2
x
2
+
c
3
x
3
+
c
4
x
4
)
(
1
−
x
2
2
!
+
x
4
4
!
+
O
(
x
4
)
)
=
c
0
−
c
0
2
x
2
+
c
0
4
!
x
4
+
c
1
x
−
c
1
2
x
3
+
c
1
4
!
x
5
+
c
2
x
2
−
c
2
2
x
4
+
c
2
4
!
x
6
+
c
3
x
3
−
c
3
2
x
5
+
c
3
4
!
x
7
+
O
(
x
4
)
{\displaystyle e^{x}=(c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+c_{4}x^{4})\cos \,x=(c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+c_{4}x^{4}){\Bigl (}1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+O(x^{4}){\Bigr )}=c_{0}-{\frac {c_{0}}{2}}x^{2}+{\frac {c_{0}}{4!}}x^{4}+c_{1}x-{\frac {c_{1}}{2}}x^{3}+{\frac {c_{1}}{4!}}x^{5}+c_{2}x^{2}-{\frac {c_{2}}{2}}x^{4}+{\frac {c_{2}}{4!}}x^{6}+c_{3}x^{3}-{\frac {c_{3}}{2}}x^{5}+{\frac {c_{3}}{4!}}x^{7}+O(x^{4})}
Dáme k sobě koeficienty u stejných mocnin
=
c
0
+
c
1
x
+
(
c
2
−
c
0
2
)
x
2
+
(
c
3
−
c
1
2
)
x
3
+
(
c
4
−
c
2
2
+
c
0
4
!
)
x
4
+
O
(
x
4
)
{\displaystyle =c_{0}+c_{1}x+{\Bigl (}c_{2}-{\frac {c_{0}}{2}}{\Bigr )}x^{2}+{\Bigl (}c_{3}-{\frac {c_{1}}{2}}{\Bigr )}x^{3}+{\Bigl (}c_{4}-{\frac {c_{2}}{2}}+{\frac {c_{0}}{4!}}{\Bigr )}x^{4}+O(x^{4})}
Porovnáním s koeficienty Taylorova polynomu exponenciální funkce dostáváme řešení
e
x
cos
x
=
1
+
x
+
x
2
+
2
3
x
3
+
x
4
2
+
O
(
x
4
)
{\displaystyle {\frac {e^{x}}{\cos \,x}}=1+x+x^{2}+{\frac {2}{3}}x^{3}+{\frac {x^{4}}{2}}+O(x^{4})}
V tomto článku byl použit překlad textu z článku Taylor series
Rektorys Karel a kol.: Přehled užité matematiky I. . Prometheus, Praha, 2003 , 7. vydání. ISBN 80-7196-179-5
Tkadlec Josef: Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné . Nakladatelství ČVUT, Praha 2004 , 1. vydání. ISBN 80-01-03039-3
Krbálek Milan: Matematická analýza III . Nakladatelství ČVUT, Praha 2008 , 2. vydání. 
![{\displaystyle A=[a_{1},a_{2},...,a_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1419c9993aed4ceb8be8a39f870ab6ef0d160d3)
![{\displaystyle \ln {\frac {1+x}{1-x}}=2\left[x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \right]=2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}\;x\in (-1,1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9edeb8563003d1cc6795f1e4d6a0c6c945629e9e)
Obrázky, zvuky či videa k tématu Taylorova řada na Wikimedia Commons 
