Přeskočit na obsah

Samoadjungovaný operátor

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Samoadjungovaný operátor je lineární operátor se zvláštními vlastnostmi. Operátory a především samoadjungované operátory studuje funkcionální analýza. Samoadjungovaný operátor je zobecněním samoadjungované matice.

V této části je uvedena definice samoadjungovaného operátoru. V první části pro omezené operátory, ve druhé pro neomezené. Vzhledem k tomu, že omezené operátory lze definovat vždy na celém vektorovém prostoru, je omezený samoadjungovaný operátor speciálním případem neomezeného samoadjungovaného operátoru.

Omezené operátory

[editovat | editovat zdroj]

Nechť je Hilbertův prostor sestávající z vektorového prostoru a skalárního součinu a nechť je omezený lineární operátor. Pokud operátor splňuje rovnici

nazývá se samoadjungovaný.[1]

Neomezené operátory

[editovat | editovat zdroj]

Nechť je Hilbertův prostor sestávající z vektorového prostoru a skalárního součinu a nechť je hustě definovaný operátor. Nechť je prostor všech takový, že lineární funkcionál

je spojitý. Tento funkcionál má definiční obor , a proto je hustě definovaný v . Proto má jednoznačně spojité rozšíření na celé . Podle Rieszovy věty o reprezentaci existuje jednoznačně určený prvek takový, že

platí pro všechna . Operátor s definičním oborem je k jednoznačně přiřazený sdružený operátor.

Operátor se nazývá samoadjungovaný, pokud platí a tedy pokud operátor se svým adjungovaným operátorem mají stejný definiční obor.[2]

Základy teorie neomezených operátorů položil John von Neumann v roce 1929, a byl také první, kdo rozpoznal nutnost rozlišovat symetrické a samoadjungované operátory. Protože pouze pro samoadjungované operátory může existovat spektrální rozklad popsaný v poslední části tohoto článku. Von Neumann nazýval symetrické operátory hermitovskými. Zjistil, že je pro spektrální rozklad mimo jiné důležité, aby operátor nepřipouštěl žádná symetrická rozšíření, a nazval tuto třídu operátorů maximálně Hermitovskou. Tento požadavek však není postačující pro spektrální větu, která předpokládá samoadjungované operátory. Na podnět Erharda Schmidta von Neumann nazval samoadjungované operátory hypermaximální. Pojem samoadjungovaný operátor zavedl Marshall Harvey Stone.[3]

Příbuzné objekty

[editovat | editovat zdroj]

Samoadjungovaná matice

[editovat | editovat zdroj]
Podrobnější informace naleznete v článku Samoadjungovaná matice.

Nechť je reálné nebo komplexní těleso a nechť je je skalární součin na pak je Hilbertův prostor. Matice se nazývá samoadjungovaná, pokud pro všechna platí

Matici chápeme jako Lineární zobrazení na . Protože je zobrazení mezi vektorovými prostory konečné dimenze, je zobrazení reprezentované omezené, a proto je spojité a tedy také hustě definované. Samoadjungovaná matice je tedy také samoadjungovaným operátorem. Pokud uvažujeme se svým standardním skalárním součinem, pak symetrické matice odpovídají samoadjungovaným. V případě s odpovídajícím kanonickým skalárním součinem jsou Hermitovské matice samoadjungované.

Symetrický operátor

[editovat | editovat zdroj]
Podrobnější informace naleznete v článku Symetrický operátor.

Operátor se nazývá symetrický, pokud pro všechny platí

Na rozdíl od samoadjungovaného operátoru se nevyžaduje, aby operátor byl hustě definovaný (ale v literatuře to není jednotné). Je-li hustě definovaný (a v důsledku toho je adjungovaný operátor dobře definovaný), pak je symetrický, pravě tehdy, když platí . Pro omezené operátory se pojmy samoadjungovaný a symetrický shodují. Proto jsou symetrické, ale ne samoadjungované operátory vždy neomezené. Hellingerova-Toeplitzova věta kromě toho říká, že každý symetrický operátor definovaný na celém je spojitý a proto je také samoadjungovaný.

V podstatě samoadjungovaný operátor

[editovat | editovat zdroj]

Operátor se nazývá v podstatě samoadjungovaný, pokud je symetrický, hustě definovaný a jeho uzávěr je samoadjungovaný. V podstatě samoadjungovaný operátor můžeme tedy vždy rozšířit na samoadjungovaný.

Příklady

[editovat | editovat zdroj]

Symetrické matice

[editovat | editovat zdroj]
Podrobnější informace naleznete v článku Symetrická matice.

Symetrické matice můžeme chápat jako operátory . S ohledem na standardní skalární součiny je každá symetrická matice samoadjungovaná, to jest je samoadjungovaným operátorem.

Operátor -i d/dx

[editovat | editovat zdroj]

Pokud je operátor omezený, pak, jak již bylo uvedeno, jsou pojmy symetrický operátor, v podstatě samoadjungovaný operátor a samoadjungovaný operátor ekvivalentní. V případě neomezených operátorů implikuje samoadjungovanost symetrii, ale obráceně to neplatí. Protipříklad ukazuje následující dvojice:

  1. Uvažujeme Hilbertův prostor a diferenciální operátor s dirichletovskými okrajovými podmínkami .
  2. a pro jeho rozšíření požadujeme pouze „periodičnost“: .

Z řetězu rovností

plyne, že operátory pro jsou symetrické. Avšak pouze operátor je samoadjungovaný, protože v prvním případě je definiční obor zbytečně omezený. Pak nemá vůbec žádné vlastní funkce, protože ty jsou všechny ve tvaru , takže požadovaná podmínka bude porušena.

Laplaceův operátor

[editovat | editovat zdroj]
Podrobnější informace naleznete v článku Laplaceův operátor.

Laplaceův operátor je neomezený operátor. S ohledem na -skalární součiny je samoadjungovaný. To znamená, že je pro tento skalární součin symetrický, což pro všechny znamená

a je hustě definovaný. Diferenciál je zde potřeba chápat ve slabém smyslu. Pro definiční obor tedy platí

Tomu vyhovuje Sobolevův prostor kvadraticky integrovatelné a dvakrát slabě diferencovatelné funkce, které jsou husté v . Symetrie Laplaceova operátoru plyne z Greenových identit.

Operátor násobení

[editovat | editovat zdroj]

Nechť je prostor s mírou a je měřitelná funkce. Operátor násobení s definičním oborem definujeme vztahem

Tento operátor je neomezený a hustě definovaný, protože pro obsahuje všechny -třídy, které mimo z zanikají, a kvůli je hustý. Kromě toho je s ohledem na -skalární součiny symetrický. Operátor je také samoadjungovaný. Protože pro symetrický operátor, jmenovitě platí, že a znamená to, že pro samoadjungovaný operátor musí platit . Nechť je charakteristická funkce z . Pro a platí

To znamená, že platí skoro všude. Tam, kde bodově konverguje, platí skoro všude. Protože leží v je , odtud čímž jsme dokázali, že je samoadjungovaný.

Pro operátor hustě definovaný v Hilbertově prostoru existují další kritéria samoadjungovanosti.[4][5][6]

První kritérium

[editovat | editovat zdroj]

je samoadjungovaný operátor právě tehdy, když v platí

  1. .

Druhé kritérium

[editovat | editovat zdroj]

je samoadjungovaný operátor právě tehdy, když v , pokud jsou splněny následující podmínky:

  1. je symetrický.
  2. je uzavřený.
  3. Nulové prostory operátorů a jsou rovné .

U nulových prostorů vyskytujících se v poslední podmínce zjišťujeme jejich dimenze. V případě symetrického operátoru to nazýváme defektní indexy. Poslední zmíněnou podmínku lze proto také vyjádřit, že defektní indexy jsou rovny 0.

Třetí kritérium

[editovat | editovat zdroj]

Podmínky 2 a 3 druhého kritéria lze interpretovat jako jedinou, a tímto způsobem dostaneme pro samoadjungovanost další rovnocenné kritérium:

je samoadjungovaný operátor v , právě tehdy, když pokud jsou splněny následující podmínky:

  1. je symetrický.
  2. Obor hodnot operátorů a je roven .

Čtvrté kritérium

[editovat | editovat zdroj]

Čtvrté kritérium ukazuje, že samoadjungovanost hustě definovaného operátoru je v podstatě určeno polohou jeho spektra v reálných číslech:

je samoadjungovaný operátor v právě tehdy, když jsou splněny následující podmínky:

  1. je symetrický.
  2. Spektrum je tvořeno pouze reálnými čísly, tedy .

Vlastnosti

[editovat | editovat zdroj]

Nechť je hustě definovaný operátor na Hilbertově prostoru

  • pak je samoadjungovaný operátor s

Nechť je samoadjungovaný operátor na Hilbertově prostoru

  • Pro spektrum operátoru platí Neexistují tedy žádné spektrální hodnoty, které jsou vlastními komplexními čísly. Především samoadjungovaná matice má pouze reálné spektrum, případně vlastní čísla.
  • Operátor je pozitivní, což znamená, že pro všechny platí právě tehdy, když pro spektrum platí inkluze .
  • Pokud platí pro všechna , pak existuje samoadjungovaný operátor splňující pro všechna takový, že platí .

Friedrichsovo rozšíření

[editovat | editovat zdroj]
Podrobnější informace naleznete v článku Friedrichsovo rozšíření.

Nechť je Hilbertův prostor a hustě definovaný polootevřený operátor. Pro operátor znamená polootevřený, že pro operátor platí buď nerovnost nebo nerovnost pro a pro všechna . Pak existuje k samoadjungované rozšíření , které splňuje stejnou podmínku.

Je třeba poznamenat, že pro polootevřený operátor musí být výraz reálný, jinak relace uspořádání a nejsou definované; a operátory, pro které platí pro všechna , jsou symetrické.

Nechť je uzavřený a hustě definovaný operátor. Pak lze z Friedrichsova rozšíření odvodit, že je hustě definovaný a samoadjungovaný.

Spektrální věta pro neomezené operátory

[editovat | editovat zdroj]

Spektrální rozklad

[editovat | editovat zdroj]
Podrobnější informace naleznete v článku Spektrální věta.

Nechť je Hilbertův prostor a je borelovská σ-algebra. Pro každý samoadjungovaný operátor existuje jednoznačná spektrální míra taková, že pro a platí

Tento výrok je spektrální věta pro neomezené samoadjungované operátory. Pokud požadujeme, aby operátory byl omezený a samoadjungovaný nebo dokonce i kompaktní a samoadjungované, pak se výsledek zjednoduší. To je podrobněji vysvětleno v článku Spektrální věta.

Operátor násobení

[editovat | editovat zdroj]

Nechť je Hilbertův prostor a nechť je samoadjungovaný operátor. Pak existuje (v separabilním případě -konečný) prostor s mírou , měřitelná funkce a unitární operátor , tak že platí:

  1. a
  2. pro .

V podstatě je tedy operátor násobení jediným příkladem samoadjungovaného operátoru.

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Selbstadjungierter Operator na německé Wikipedii.

  1. Werner 2007, s. 236–237.
  2. Rudin 1991, s. 347–348.
  3. Werner 2007, Kapitel VII.6.
  4. Werner 2007, s. 342–347.
  5. Hirzebruch a Scharlau 1971, s. 158–159.
  6. Meise a Vogt 1992, s. 204.

Literatura

[editovat | editovat zdroj]