Rieszova věta o reprezentaci

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Rieszova věta o reprezentaci je důležité matematické tvrzení z oboru funkcionální analýzy. Tato věta umožňuje reprezentovat funkcionály na Hilbertově prostoru skalárním součinem s jistým prvkem tohoto prostoru.

Znění[editovat | editovat zdroj]

Pro každý spojitý lineární funkcionál na Hilbertově prostoru existuje jediný vektor takový, že:

.

A navíc:

Poznámky[editovat | editovat zdroj]

Podmínka spojitosti funkcionálu je ekvivalentní s podmínkou omezenosti.

V dovětku je třeba správně rozlišovat druhy norem:

ale

.

Využití[editovat | editovat zdroj]

V praxi jsou skalární součiny často definovány nějakým vzorcem s použitím integrálu nebo lineární formou, v takových případech Rieszova věta zaručuje, že funkcionály je možné zapsat obdobným vzorcem. V teorii je Rieszova věta nezbytná pro zavedení sdružených operátorů, které jsou významné samy o sobě. Dále je této věty potřeba při zavádění duálních prostorů, které mají velké využití například v kvantové fyzice.

Důkaz[editovat | editovat zdroj]

Nejprve ověříme korektnost tvrzení, tedy že taková reprezentace není v rozporu s linearitou a omezeností a funkcionálu:

Obdobě omezenost, tu zajišťuje Cauchyho–Schwarzova nerovnost.


Nyní dokážeme, že požadovaný vektor musí vždy existovat.

Pro je důkaz triviální, předpokládejme tedy dále, že . je tedy uzavřený vlastní podprostor , existuje tedy nenulový vektor .
Označme a ukažme, že .
Pro platí: .
Jelikož je libovolný a platí , stačí již jen ukázat, že:
Můžeme ztotožnit , takže existence je dokázána.

Jednoznačnost dokážeme sporem:

Předpokládejme, že existují dva vektory , takové že:
Z toho plyne: , což je spor s předpokladem.

Zbývá dokázat dovětek:

Vezměme vektor , takový, že , pak platí:
Zároveň však:
Z čehož vyvodíme . ∎