Sobolevův prostor

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Sobolevův prostor je v matematice normovaný vektorový prostor funkcí s normou, která je kombinací Lp-normy funkce a jejích derivací.

Sobolevovy prostory s celočíselnou derivací[editovat | editovat zdroj]

Definice[editovat | editovat zdroj]

Sobolevův prostor Wk,p(Ω) je množina všech funkcí uLp(Ω) tak, že pro každý multi-index α s |α| ≤ k leží slabá parciální derivace v Lp(Ω), t.j.

kde Ω je otevřena množina v Rn a 1 ≤ p ≤ +∞. Přirozené číslo k se nazývá řád Sobolevova prostoru Wk,p(Ω).

Existuje mnoho možností jak na prostoru Wk,p(Ω) definovat normu, tedy, jak z něj vytvořit Banachův prostor. Následující dvě definice zavádějí dvě různé, ovšem navzájem ekvivalentní normy:

a

Pro p < +∞ je Banachův prostor Wk,p(Ω) s takto zavedenými normami dokonce separabilní.

Na prostoru Wk,2(Ω) vybaveném normou lze navíc zavést skalární součin, který tuto normu indukuje, čímž se z něj stane Hilbertův prostor. Tento prostor se pak místo Wk,2(Ω) značí Hk(Ω).[1]

Sobolevovy prostory s neceločíselnou derivací[editovat | editovat zdroj]

Besselovy potenciální prostory[editovat | editovat zdroj]

Pokud 1 < p < ∞, Besselův prostor Hs,p(Rn) je dobře definován pro každé reálné číslo s předpisem

s normou

.

Besselovy potenciální prostory jsou Banachovými prostory a v speciálním případě p = 2 dokonce Hilbertovými prostory. Pojem Besselova prostoru je zobecnění pojmu Sobolevova prostoru v tom smyslu, že pro přirozené k platí Hk,p(Rn)=Wk,p(Rn) s ekvivalentními normami. Navíc platí řetěz vnoření

Sobolev-Slobodeckého prostory[editovat | editovat zdroj]

Další způsob definovat Sobolevovy prostory s neceločíselnou derivací používá nápad zobecnění Hölderovy spojitostí do Lebesgueových prostorů.[2] Je-li Ω otevřená množina Rn, 1 ≤ p < ∞, θ ∈ (0,1) a fLp(Ω), pak Slobodeckého seminorma je definována předpisem

.

Je-li s > 0 neceločíselné, Sobolev-Slobodeckého prostor Ws, p(Ω) je dobře definován předpisem

,

kde . Je Banachovým prostorem s normou

.

I v případě Sobolev-Slobodeckého prostorů platí řetěz vnoření

.

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. Evans 1998
  2. Lunardi 1995

Literatura[editovat | editovat zdroj]

  • ADAMS, Robert A. Sobolev Spaces. Boston, MA: Academic Press, 1975. ISBN 978-0-12-044150-1. (anglicky) .
  • AUBIN, Thierry. Nonlinear analysis on manifolds. Monge-Ampère equations. Berlin, New York: Springer-Verlag, 1982. (Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]; sv. 252). ISBN 978-0-387-90704-8. (anglicky) .
  • BERGH, J.; LÖFSTRÖM. Interpolation Spaces, An Introduction. [s.l.]: Springer-Verlag, 1976. ISBN 9787506260114. (anglicky) 
  • EVANS, L.C. Partial Differential Equations. [s.l.]: AMS_Chelsea, 1998. (anglicky) .
  • MAZ'YA, Vladimir. Sobolev spaces. [s.l.]: Springer-Verlag, 1985. (anglicky) .
  • LUNARDI, Alessandra. Analytic semigroups and optimal regularity in parabolic problems. Basel: Birkhäuser Verlag, 1995. (anglicky) .
  • NIKODYM, Otto. Sur une classe de fonctions considérée dans l'étude du problème de Dirichlet. Fund. Math.. 1933, s. 129–150. Dostupné online. (anglicky) .
  • SOBOLEV, S.L. On a theorem of functional analysis. Transl. Amer. Math. Soc.. 1963, s. 39–68. (anglicky) ; translation of Mat. Sb. , 4 (1938) pp. 471–497.
  • SOBOLEV, S.L. Some applications of functional analysis in mathematical physics. [s.l.]: Amer. Math. Soc., 1963. (anglicky) .
  • STEIN, E. Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions,. [s.l.]: Princeton Univ. Press, 1970. ISBN 0-691-08079-8. (anglicky) .
  • TRIEBEL, H. Interpolation Theory, Function Spaces, Differential Operators. Heidelberg: Johann Ambrosius Barth, 1995. (anglicky) .
  • ZIEMER, William P. Weakly differentiable functions. Berlin, New York: Springer-Verlag, 1989. (Graduate Texts in Mathematics; sv. 120). ISBN 978-0-387-97017-2. (anglicky) .