600-nadstěn

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
600-nadstěn
600-nadstěn
Typ Pravidelný polychoron
Nadstěn 600 (3.3.3)
Stěn 1200 {3}
Hran 720
Vrcholů 120
Uspořádání vrcholů 20 (3.3.3)
(dvacetistěn)
Schläfliho symbol {3,3,5}
Grupa symetrie grupa [3,3,5]
Duální těleso 120-nadstěn
Vlastnosti konvexní

V geometrii, šestisetnadstěn (což je volný překlad anglického 600-cell), nebo také hexakosichoron, je platónské těleso ve čtyřrozměrném prostoru. Bývá považován za čtyřrozměrnou analogii dvacetistěnu.

3-povrch 600-nadstěnu je tvořen ze 600 nadstěn majících tvar čtyřstěnu. V jednom vrcholu se potkává 20 nadstěn. 600-nadstěn má 1 200 trojúhelníkových stěn, 720 hran a 120 vrcholů. Duálním tělesem je 120-nadstěn.

Objem, povrch a další parametry[editovat | editovat zdroj]

Následující vzorce udávají, jaký je objem 600-nadstěnu, a jeho k-rozměrné povrchy (což je vždy obsah k-rozměrné stěny krát počet těchto stěn) v závislosti na hraně a.[1]

S_{1D} je tedy délka všech hran kostry 600-nadstěnu.

V_{4D}=\frac{25}{4}\left(2+\sqrt{5}\right)a^4

S_{3D}= 50 \sqrt{2}\ a^3

S_{2D}= 300 \sqrt{3}\ a^2

S_{1D}=720\ a\,

Poloměr vepsané koule je

\rho=\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)}{2\sqrt{2}}a

a poloměr koule opsané je

r=\frac{\left(1+\sqrt{5}\right)}{2}a

Kartézská soustava souřadnic[editovat | editovat zdroj]

Je-li délka hrany 1/φ (kde φ = (1+√5)/2 je zlatý řez), pak 120 vrcholů 600-nadstěnu má následující souřadnice:

(±½,±½,±½,±½), (všechny kombinace znamének ⇒ 16 vrcholů)
(0,0,0,±1) (permutace přes všechny souřadnice ⇒ 8 vrcholů)
½(±1,±φ,±1/φ,0) (sudé permutace ⇒ 96 vrcholů).

Přitom zjevně prvních 16 vrcholů jsou vrcholy teseraktu, následujících 8 vrcholů tvoří vrcholy 16-nadstěnu prvních 16+8 vrcholů tvoří dohromady vrcholy 24-nadstěnu.

Pokud tyto čtveřice souřadnic interpretujeme jako kvaterniony, potom 120 vrcholů 600-nadstěnu tvoří uzavřenou konečnou grupu, která je izomorfní grupě SL(2,5).

VÍCEROZMĚRNÁ GEOMETRICKÁ TĚLESA
d=2 trojúhelník čtverec šestiúhelník pětiúhelník
d=3 tetraedr krychle, oktaedr krychloktaedr, kosočtverečný dvanáctistěn dvanáctistěn , dvacetistěn
d=4 5-nadstěn teserakt, 16-nadstěn 24-nadstěn 120-nadstěn, 600-nadstěn
d=5 5-simplex penterakt, 5-ortoplex
d=6 6-simplex hexerakt, 6-ortoplex
d=7 7-simplex hepterakt, 7-ortoplex
d=8 8-simplex okterakt, 8-ortoplex
d=9 9-simplex ennerakt, 9-ortoplex
d=10 10-simplex dekerakt, 10-ortoplex
d=11 11-simplex hendekerakt, 11-ortoplex
d=12 12-simplex dodekerakt, 12-ortoplex
d=13 13-simplex triskaidekerakt, 13-ortoplex
d=14 14-simplex tetradekerakt, 14-ortoplex
d=15 15-simplex pentadekerakt, 15-ortoplex
d=16 16-simplex hexadekerakt, 16-ortoplex
d=17 17-simplex heptadekerakt, 17-ortoplex
d=18 18-simplex oktadekerakt, 18-ortoplex
d=19 19-simplex ennedekerakt, 19-ortoplex
d=20 20-simplex ikosarakt, 20-ortoplex

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. FONTAINE, David A.. . Dostupné online. (anglicky)