Čtyřrozměrná platónská tělesa

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Jedná se o čtyřrozměrné analogie trojrozměrných platónských těles. Tyto poprvé popsal švýcarský matematik Ludwig Schläfli v polovině 19. století. Zjistil, že jich existuje právě šest (5-nadstěn, teserakt (8-nadstěn), 16-nadstěn, 24-nadstěn, 120-nadstěn a 600-nadstěn). Pět z nich je možno chápat jako vícedimenzionální analogii konkrétních pěti platónských těles v trojrozměrném prostoru (5-nadstěn, teserakt, 16-nadstěn, 120-nadstěn a 600-nadstěn). Navíc ve čtyřrozměrném prostoru existuje ještě šesté těleso (24-nadstěn), které nemá mezi trojrozměrnými platónskými tělesy ekvivalent.

Tabulka[editovat | editovat zdroj]

Název Obrázek Počet stěn Počet hran Počet vrcholů Typ nadstěny Typ stěny Počet hran u vrcholu Počet stěn u vrcholu Počet nadstěn u vrcholu 2D Povrch 3D Povrch 4D Objem
Pentachoron

(5-nadstěn)

5-cell.gif 10 10 5 Čtyřstěn Trojúhelník 4 6 \frac{5\sqrt{3}}{2}\;\ a^2\, \frac{5\sqrt{2}}{12}\;\ a^3\, \frac{\sqrt{5}}{96}\;a^4\,
Teserakt

(8-nadstěn)

8-cell.gif 24 32 16 Krychle Čtverec 4 6 24\ a^2\, 8\ a^3\, a^4\,
Ortoplex

(16-nadstěn)

16-cell.gif 32 24 8 Čtyřstěn Trojúhelník 8 \sqrt{3}\ a^2 \frac{4\sqrt{2}}{3}\ a^3 \frac{a^4}{6}
Ikositetrachoron

(24-nadstěn)

24-cell.gif 96 96 24 Osmistěn Trojúhelník 6 24 \sqrt{3}\ a^2 8\sqrt{2}\ a^3 2\ a^4
Hecatonicosachoron

(120-nadstěn)

120-cell.gif 720 1200 600 Dvanáctistěn Pětiúhelník 4 180\sqrt{25+10\sqrt{5}}\; a^2 30(15+7\sqrt{5})a^3 \sqrt{\frac{1125}{8}\left(2207+987\sqrt{5}\right)}a^4
Hexacosichoron

(600-nadstěn)

600-cell.gif 1200 720 120 Čtyřstěn Trojúhelník 10 20 300 \sqrt{3}\ a^2 50 \sqrt{2}\ a^3 \frac{25}{4}\left(2+\sqrt{5}\right)a^4

Dualismus[editovat | editovat zdroj]

Podobně jako ve 3D i 4D platónská tělesa jsou duální.

  • 5-nadstěn je duální sám se sebou.
  • Teserakt a 16-nadstěn jsou navzájem duální.
  • 24-nadstěn je duální sám se sebou.
  • 120-nadstěn a 600-nadstěn jsou navzájem duální.

Související články[editovat | editovat zdroj]