Konvexní množina: Porovnání verzí

Smazaný obsah Přidaný obsah

V textu

Verze z 28. 2. 2012, 17:39

V matematice se pod pojmem konvexní množina obvykle rozumí podmnožina Euklidovského prostoru nebo reálného vektorového prostoru, která má následující vlastnost:

Jde tedy o množinu M takovou, že pro všechny body $A,B\in \mathbf {M}$ platí

AB\subseteq \mathbf {M} .

Analyticky to lze vyjádřit tak, že pro všechna $a,b\in \mathbf {M}$ je splněna podmínka

{\overline {ab}}:=\{\lambda a+(1-\lambda )b\mid 0\leq \lambda \leq 1\}\subseteq M.

Představíme-li si hranic množiny jako neprůhlednou, znamená konvexita množiny názorně to, že z každého jejího bodu je vidět každý její bod.

úsečka, přímka i polorovina jsou konvexní
úhel je konvexní, právě když jeho velikost je nejvýše 180°
každý trojúhelník i rovnoběžník i lichoběžník je konvexní, čtyřúhelník už konvexní být nemusí.
mnohoúhelník v rovině je konvexní, jestliže
- žádný jeho vnitřní úhel není větší než 180°
- vznikne jako průnik konečně mnoha polorovin.
Kruh a koule jsou konvexní
Krychle a kvádr jsou konvexní
Kružnice ani kulová plocha nejsou konvexní
Žádná křivka ani plocha není konvexní, kromě částí přímky a roviny.

Průnik libovolného souboru konvexních množin je konvexní. To umožňuje pro libovolnou množinu definovat jení konvexní obal jako průnik všech jejích konvexních nadmnožin. Je to její nejmenší konvexní nadnožina (ve smyslu inkluze).
Konvexní množina je (obloukovitě) souvislá.
Sjednocení konvexních množin obecně není konvexní: Např. sjednocení dvou různých jednobodových množin není konvexní.

@@ Řádek 12: / Řádek 12: @@
 Analyticky to lze vyjádřit tak, že pro všechna <math>a,b\in\mathbf{M}</math> je splněna podmínka
 :<math>\overline{ab} := \{\lambda a+(1-\lambda)b\mid0\leq\lambda\leq1\} \subseteq M.</math>
+Představíme-li si hranic množiny jako neprůhlednou, znamená konvexita množiny názorně to, že z každého jejího bodu je '''vidět''' každý její bod.
 == Příklady ==