Přirozené číslo: Porovnání verzí
m →Konstrukce: fmt |
m překlep, mezery značka: přepnuto z Vizuálního editoru |
||
Řádek 5: | Řádek 5: | ||
| jazyk = cs-CZ |
| jazyk = cs-CZ |
||
| datum přístupu = 2018-11-20 |
| datum přístupu = 2018-11-20 |
||
}}</ref> které lze použít k |
}}</ref> které lze použít k vyjádření [[Mohutnost množiny|mohutnosti (konečné) množiny]] (viz [[kardinální číslo]]), resp. počtu nějakých předmětů. Zejména ve starší literatuře se [[nula]] mezi přirozená čísla nepočítala, což vychází z použití přirozených čísel pro vyjadřování pořadí (viz [[ordinální číslo]]). Přirozená čísla patří mezi základní [[Matematika#Kvantita|matematické koncepty]], a protože se považují za nejjednodušší na pochopení, začíná výuka matematiky obvykle od přirozených čísel. |
||
== Značení == |
== Značení == |
||
Řádek 11: | Řádek 11: | ||
[[Množina]] přirozených čísel se označuje velkým písmenem '''N''' (nebo zdvojeným písmenem <math>\mathbb{N}</math>). |
[[Množina]] přirozených čísel se označuje velkým písmenem '''N''' (nebo zdvojeným písmenem <math>\mathbb{N}</math>). |
||
Protože někteří autoři touto značkou označují kladná celá čísla a |
Protože někteří autoři touto značkou označují kladná celá čísla a jiní nezáporná celá čísla, používají se také značení, která tuto nejednoznačnost vylučují: |
||
* pro [[Nezáporné číslo|nezáporná]] [[celé číslo|celá čísla]] (včetně [[Nula|nuly]]): |
* pro [[Nezáporné číslo|nezáporná]] [[celé číslo|celá čísla]] (včetně [[Nula|nuly]]): |
||
** '''N<sup>0</sup>''', resp. <math>\mathbb{N}^{0}</math>, případně '''N<sub>0</sub>''', resp. <math>\mathbb{N}_{0}</math>, nebo |
** '''N<sup>0</sup>''', resp. <math>\mathbb{N}^{0}</math>, případně '''N<sub>0</sub>''', resp. <math>\mathbb{N}_{0}</math>, nebo |
||
** '''Z<sup>+</sup><sub>0</sub>''', resp. <math>\mathbb{Z}^{+}_{0}</math>; |
** '''Z<sup>+</sup><sub>0</sub>''', resp. <math>\mathbb{Z}^{+}_{0}</math>; |
||
* pro [[Kladné číslo|kladná]] celá čísla |
* pro [[Kladné číslo|kladná]] celá čísla (bez [[Nula|nuly]]): |
||
** |
**'''N<sup>+</sup>''', resp. <math>\mathbb{N}^{+}</math>, nebo |
||
** '''Z<sup>+</sup>''', resp. <math>\mathbb{Z}^{+}</math>. |
** '''Z<sup>+</sup>''', resp. <math>\mathbb{Z}^{+}</math>. |
||
Řádek 28: | Řádek 28: | ||
* Pokud nějakou vlastnost splňuje jak číslo 0, tak i každé číslo, které je následníkem nějakého čísla, které tuto vlastnost splňuje, pak tuto vlastnost splňují všechna přirozená čísla. (Tento axiom zajišťuje platnost [[Matematický důkaz|důkazů]] technikou [[Matematická indukce|matematické indukce]].) |
* Pokud nějakou vlastnost splňuje jak číslo 0, tak i každé číslo, které je následníkem nějakého čísla, které tuto vlastnost splňuje, pak tuto vlastnost splňují všechna přirozená čísla. (Tento axiom zajišťuje platnost [[Matematický důkaz|důkazů]] technikou [[Matematická indukce|matematické indukce]].) |
||
(Poznámka: Číslo 0 v těchto postulátech nemusí odpovídat běžnému výkladu přirozeného čísla nula. 0 |
(Poznámka: Číslo 0 v těchto postulátech nemusí odpovídat běžnému výkladu přirozeného čísla nula. 0 v této formální definici znamená pouze nějaký objekt, který spolu s funkcí následnosti splňuje Peanovy axiomy.) |
||
== Konstrukce == |
== Konstrukce == |
||
Řádek 47: | Řádek 47: | ||
: …atd. |
: …atd. |
||
Tato definice souhlasí s intuitivním pojetím, že každé přirozené číslo ''n'' vyjadřuje mohutnost množiny o |
Tato definice souhlasí s intuitivním pojetím, že každé přirozené číslo ''n'' vyjadřuje mohutnost množiny o právě ''n'' prvcích. |
||
== Vlastnosti == |
== Vlastnosti == |
||
* Množina přirozených čísel je [[Nekonečná množina|nekonečná]] (existuje nekonečně mnoho přirozených čísel), avšak [[Spočetná množina|spočetná]] (podle definice). |
* Množina přirozených čísel je [[Nekonečná množina|nekonečná]] (existuje nekonečně mnoho přirozených čísel), avšak [[Spočetná množina|spočetná]] (podle definice). |
||
* Na přirozených číslech můžeme definovat operaci [[sčítání]] takto: ''a'' + 0 = ''a'', ''a'' + ''S(b)'' = ''S(a + b)'' pro všechna ''a, b''. Tím se stane ('''N''', +) [[komutativní]]m [[monoid]]em s |
* Na přirozených číslech můžeme definovat operaci [[sčítání]] takto: ''a'' + 0 = ''a'', ''a'' + ''S(b)'' = ''S(a + b)'' pro všechna ''a, b''. Tím se stane ('''N''', +) [[komutativní]]m [[monoid]]em s [[Neutrální prvek|neutrálním prvkem]] 0. Pokud definujeme ''S''(0) = 1, je ''S''(''a'') = ''S''(''a'' + 0) = ''a'' + ''S''(0) = ''a'' + 1, tzn. následníkem čísla ''a'' je číslo ''a'' + 1. Tento monoid je možné vnořit do [[Grupa|grupy]]; nejmenší grupou obsahující přirozená čísla jsou [[Celé číslo|celá čísla]]. |
||
* Obdobně můžeme s využitím operace sčítání definovat operaci [[násobení]] takto: ''a'' * 0 = 0, ''a'' * (''b'' + 1) = (''a'' * ''b'') + ''a''. Tím se stane ('''N''', *) komutativním monoidem s |
* Obdobně můžeme s využitím operace sčítání definovat operaci [[násobení]] takto: ''a'' * 0 = 0, ''a'' * (''b'' + 1) = (''a'' * ''b'') + ''a''. Tím se stane ('''N''', *) komutativním monoidem s neutrálním prvkem 1. Sčítání a násobení splňují [[distributivní zákon]]: ''a'' * (''b'' + ''c'') = (''a'' * ''b'') + (''a'' * ''c''). ('''N''', +, *) je tedy komutativním [[polookruh]]em. |
||
* Na přirozených číslech lze definovat [[úplné uspořádání]], kdy ''a'' ≤ ''b'' právě tehdy, když existuje přirozené číslo ''c'' tak, že ''a'' + ''c'' = ''b''. Přirozená čísla jsou [[Dobře uspořádaná množina|dobře uspořádaná]], tzn. každá neprázdná množina přirozených čísel má [[nejmenší prvek]]. |
* Na přirozených číslech lze definovat [[úplné uspořádání]], kdy ''a'' ≤ ''b'' právě tehdy, když existuje přirozené číslo ''c'' tak, že ''a'' + ''c'' = ''b''. Přirozená čísla jsou [[Dobře uspořádaná množina|dobře uspořádaná]], tzn. každá neprázdná množina přirozených čísel má [[nejmenší prvek]]. |
||
* Na přirozených číslech neexistuje operace [[dělení]], neboť podíl dvou přirozených čísel obecně nemusí být přirozené číslo. Alternativou je tady ''dělení se zbytkem'': pro libovolná dvě přirozená čísla ''a'', ''b'', kde ''b'' ≠ 0, můžeme najít taková přirozená čísla ''r'' a ''q'', že platí ''a'' = ''bq'' + ''r'' a |
* Na přirozených číslech neexistuje operace [[dělení]], neboť podíl dvou přirozených čísel obecně nemusí být přirozené číslo. Alternativou je tady ''dělení se zbytkem'': pro libovolná dvě přirozená čísla ''a'', ''b'', kde ''b'' ≠ 0, můžeme najít taková přirozená čísla ''r'' a ''q'', že platí ''a'' = ''bq'' + ''r'' a zároveň ''r'' < ''b''. Číslu ''r'' pak říkáme [[zbytek po dělení]] čísla ''a'' číslem ''b'', číslo ''q'' je celočíselný podíl ''a'' a ''b''. Tato operace je základem mnoha vlastností ([[dělitelnost]]), postupů ([[Euklidův algoritmus]]) a idejí v [[Teorie čísel|teorii čísel]]. Na existenci a vlastnostech zbytků po dělení v přirozených číslech je založena jedna část [[kryptografie]]. |
||
== Externí odkazy == |
== Externí odkazy == |
Verze z 8. 6. 2019, 23:24
Přirozeným číslem (číslem z oboru přirozených čísel) se v matematice obvykle rozumí nezáporné celé číslo (0, 1, 2, 3, …),[1] které lze použít k vyjádření mohutnosti (konečné) množiny (viz kardinální číslo), resp. počtu nějakých předmětů. Zejména ve starší literatuře se nula mezi přirozená čísla nepočítala, což vychází z použití přirozených čísel pro vyjadřování pořadí (viz ordinální číslo). Přirozená čísla patří mezi základní matematické koncepty, a protože se považují za nejjednodušší na pochopení, začíná výuka matematiky obvykle od přirozených čísel.
Značení
Množina přirozených čísel se označuje velkým písmenem N (nebo zdvojeným písmenem ).
Protože někteří autoři touto značkou označují kladná celá čísla a jiní nezáporná celá čísla, používají se také značení, která tuto nejednoznačnost vylučují:
- pro nezáporná celá čísla (včetně nuly):
- N0, resp. , případně N0, resp. , nebo
- Z+0, resp. ;
- pro kladná celá čísla (bez nuly):
- N+, resp. , nebo
- Z+, resp. .
Formální definice
Exaktní matematické definice množiny přirozených čísel jsou založeny na následujících axiomech (tzv. Peanova aritmetika):
- Existuje číslo 0.
- Každé přirozené číslo a má následníka, označeného jako S(a).
- Neexistuje přirozené číslo, jehož následníkem by byla 0.
- Různá přirozená čísla mají různé následníky: pokud a ≠ b, pak S(a) ≠ S(b).
- Pokud nějakou vlastnost splňuje jak číslo 0, tak i každé číslo, které je následníkem nějakého čísla, které tuto vlastnost splňuje, pak tuto vlastnost splňují všechna přirozená čísla. (Tento axiom zajišťuje platnost důkazů technikou matematické indukce.)
(Poznámka: Číslo 0 v těchto postulátech nemusí odpovídat běžnému výkladu přirozeného čísla nula. 0 v této formální definici znamená pouze nějaký objekt, který spolu s funkcí následnosti splňuje Peanovy axiomy.)
Konstrukce
Nejběžnější konstrukcí přirozených čísel v axiomatické teorii množin je následující postup:
- Definujeme 0 = {}.
- Definujeme S(a) = a ∪ {a} pro všechna a.
- Množinu přirozených čísel pak definujeme jako průnik všech množin obsahujících 0 a uzavřených vůči funkci následnosti.
Pomocí axiomu nekonečna lze dokázat, že tato definice splňuje Peanovy axiomy.
V této definici je každé přirozené číslo množinou čísel menších než ono, tedy:
- 0 = {}
- 1 = {0} = {{}}
- 2 = {0, 1} = {0, {0}} = {{}, {{}}}
- 3 = {0, 1, 2} = {0, {0}, {0, {0}}} = {{}, {{}}, {{}, {{}}}}
- …atd.
Tato definice souhlasí s intuitivním pojetím, že každé přirozené číslo n vyjadřuje mohutnost množiny o právě n prvcích.
Vlastnosti
- Množina přirozených čísel je nekonečná (existuje nekonečně mnoho přirozených čísel), avšak spočetná (podle definice).
- Na přirozených číslech můžeme definovat operaci sčítání takto: a + 0 = a, a + S(b) = S(a + b) pro všechna a, b. Tím se stane (N, +) komutativním monoidem s neutrálním prvkem 0. Pokud definujeme S(0) = 1, je S(a) = S(a + 0) = a + S(0) = a + 1, tzn. následníkem čísla a je číslo a + 1. Tento monoid je možné vnořit do grupy; nejmenší grupou obsahující přirozená čísla jsou celá čísla.
- Obdobně můžeme s využitím operace sčítání definovat operaci násobení takto: a * 0 = 0, a * (b + 1) = (a * b) + a. Tím se stane (N, *) komutativním monoidem s neutrálním prvkem 1. Sčítání a násobení splňují distributivní zákon: a * (b + c) = (a * b) + (a * c). (N, +, *) je tedy komutativním polookruhem.
- Na přirozených číslech lze definovat úplné uspořádání, kdy a ≤ b právě tehdy, když existuje přirozené číslo c tak, že a + c = b. Přirozená čísla jsou dobře uspořádaná, tzn. každá neprázdná množina přirozených čísel má nejmenší prvek.
- Na přirozených číslech neexistuje operace dělení, neboť podíl dvou přirozených čísel obecně nemusí být přirozené číslo. Alternativou je tady dělení se zbytkem: pro libovolná dvě přirozená čísla a, b, kde b ≠ 0, můžeme najít taková přirozená čísla r a q, že platí a = bq + r a zároveň r < b. Číslu r pak říkáme zbytek po dělení čísla a číslem b, číslo q je celočíselný podíl a a b. Tato operace je základem mnoha vlastností (dělitelnost), postupů (Euklidův algoritmus) a idejí v teorii čísel. Na existenci a vlastnostech zbytků po dělení v přirozených číslech je založena jedna část kryptografie.
Externí odkazy
- Obrázky, zvuky či videa k tématu přirozené číslo na Wikimedia Commons
- Slovníkové heslo přirozené číslo ve Wikislovníku
- http://www.stetson.edu/~efriedma/numbers.html
- ↑ Prvňáci a matematika VII. Číslo 0. clanky.rvp.cz [online]. [cit. 2018-11-20]. Dostupné online.