Kořen (matematika)

Kořenem funkce f se v matematice nazývá takový prvek a z definičního oboru f, v němž f nabývá nulové hodnoty. Přesněji kořenem je každé a splňující rovnici f(a) = 0.

Pro nejběžnější případ, kdy je definiční obor f podmnožinou komplexních resp. reálných čísel, je kořen bod, v němž graf funkce f protíná komplexní rovinu resp. osu x.

Kořen polynomu

Polynom jedné proměnné stupně n s komplexními koeficienty chápaný jako funkce může mít nejvýše n různých komplexních kořenů. Je-li totiž a kořenem polynomu P(x), pak (x − a) dělí P(x), a tedy P(x)/(x-a) je polynom stupně n-1.

Podle základní věty algebry má každý polynom jedné proměnné stupně n s komplexními koeficienty v komplexních číslech právě n kořenů, je-li každý počítán ve své násobnosti. Uvažujeme-li polynom nad reálnými čísly, pak tato situace nemusí obecně platit - např. polynom $x^{2}+1$ nemá v reálných číslech kořen (kořeny polynomu jsou komplexní čísla $\pm i$).

Metody výpočtu

Přímo

• Je-li $P(x)$ lineární polynom (tedy $P(x)=ax+b$, kde $a\neq 0$ a $b$ jsou reálná nebo komplexní čísla), pak jeho kořenem je číslo $x_{0}=-{\frac {b}{a}}$
• Jde-li o kvadratický polynom ($P(x)=ax^{2}+bx+c$), pak existují obecně dva kořeny $x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$.
• Pro výpočet kořenů kubického polynomu existují např. Cardanovy vzorce.

Aproximací

Najdeme-li dva body $x_{1}$ a $x_{2}$, pro které platí $\operatorname {sgn}(P(x_{1}))=-\operatorname {sgn}(P(x_{2}))$ kde $\operatorname {sgn}$ značí znaménkovou funkci signum (jinak řečeno $P(x_{1})P(x_{2})<0$), pak existuje alespoň jeden kořen v intervalu $(x_{1},x_{2})$ (viz Bolzanova věta). Tento kořen lze najít metodou půlení intervalů nebo metodou tečen

Příklady

• Kořenem funkce (polynomu) $f(x)=x^{2}+6x+9$ je číslo −3, protože f(-3) = 0. Jiné kořeny tato funkce nemá – to se zjistí snadno rozkladem na $(x+3)^{2}$.
• Funkce $f(x)=e^{x}$ (viz Eulerovo číslo) nemá v reálných ani komplexních číslech kořen.
• Funkce $f(x)=sin(x)$ (viz sinus) má nekonečně mnoho kořenů, a to právě čísla tvaru kπ, kde π je Ludolfovo číslo a k libovolné celé číslo.

Související články

• Rovnice
• Funkce

Portály: Matematika