Taylorova řada: Porovnání verzí
značka: editace z Vizuálního editoru |
m Přidání šablony Commonscat dle ŽOPP z 28. 7. 2016; kosmetické úpravy |
||
Řádek 1: | Řádek 1: | ||
[[Soubor:Sintay.svg|thumb|right|300px|Taylorův rozvoj stupně <span style="color: red">'''1'''</span>, <span style="color: orange">'''3'''</span>, <span style="color:yellow">'''5'''</span>, <span style="color: green">'''7'''</span>, <span style="color: blue">'''9'''</span>, <span style="color: indigo">'''11'''</span> a <span style="color: violet">'''13'''</span> funkce [[Sinus|sin(x)]]. Sin(x) je vyznačen černě.]] |
[[Soubor:Sintay.svg|thumb|right|300px|Taylorův rozvoj stupně <span style="color: red">'''1'''</span>, <span style="color: orange">'''3'''</span>, <span style="color:yellow">'''5'''</span>, <span style="color: green">'''7'''</span>, <span style="color: blue">'''9'''</span>, <span style="color: indigo">'''11'''</span> a <span style="color: violet">'''13'''</span> funkce [[Sinus|sin(x)]]. Sin(x) je vyznačen černě.]] |
||
'''Taylorova řada''' je v [[matematika|matematice]] zvláštní [[mocninná řada]]. |
'''Taylorova řada''' je v [[matematika|matematice]] zvláštní [[mocninná řada]]. |
||
Za určitých předpokladů o [[Funkce (matematika)|funkci]] ''f(x)'' v [[okolí (matematika)|okolí]] [[bod]]u ''a'' lze tuto funkci vyjádřit (rozvinout) jako mocninnou řadu. Toto vyjádření funkce prostřednictvím Taylorovy řady se označuje jako '''Taylorův rozvoj'''. Pokud se jedná o rozvoj v okolí bodu 0, mluvíme o Maclaurinově řadě. |
Za určitých předpokladů o [[Funkce (matematika)|funkci]] ''f(x)'' v [[okolí (matematika)|okolí]] [[bod]]u ''a'' lze tuto funkci vyjádřit (rozvinout) jako mocninnou řadu. Toto vyjádření funkce prostřednictvím Taylorovy řady se označuje jako '''Taylorův rozvoj'''. Pokud se jedná o rozvoj v okolí bodu 0, mluvíme o Maclaurinově řadě. |
||
Pro přibližné vyjádření hodnot funkce není nutné vyjadřovat všechny členy Taylorovy řady, ale můžeme zanedbat členy s vyššími derivacemi. Získáme tím tzv. '''Taylorův [[polynom]]'''. Taylorův polynom tedy [[aproximace|aproximuje]] hodnoty [[Funkce (matematika)|funkce]], která má v daném [[bod]]ě [[derivace|derivaci]], pomocí [[polynom]]u, jehož [[koeficient]]y závisí na derivacích funkce v tomto bodě. |
Pro přibližné vyjádření hodnot funkce není nutné vyjadřovat všechny členy Taylorovy řady, ale můžeme zanedbat členy s vyššími derivacemi. Získáme tím tzv. '''Taylorův [[polynom]]'''. Taylorův polynom tedy [[aproximace|aproximuje]] hodnoty [[Funkce (matematika)|funkce]], která má v daném [[bod]]ě [[derivace|derivaci]], pomocí [[polynom]]u, jehož [[koeficient]]y závisí na derivacích funkce v tomto bodě. |
||
Řada je pojmenována po anglickém matematikovi [[Brook Taylor|Brooku Taylorovi]], který ji publikoval v roce 1712, avšak metoda aproximace funkce mocninnou řadou byla objevena již roku 1671 [[James Gregory|Jamesem Gregorym]]. |
Řada je pojmenována po anglickém matematikovi [[Brook Taylor|Brooku Taylorovi]], který ji publikoval v roce 1712, avšak metoda aproximace funkce mocninnou řadou byla objevena již roku 1671 [[James Gregory|Jamesem Gregorym]]. |
||
Řádek 63: | Řádek 63: | ||
* <math>\ln \frac{1+x}{1-x} = 2\left[x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + \frac{x^7}{7} + \cdots \right] = 2 \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2 n + 1}}{2 n + 1} \; x \in (-1,1)</math> |
* <math>\ln \frac{1+x}{1-x} = 2\left[x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + \frac{x^7}{7} + \cdots \right] = 2 \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2 n + 1}}{2 n + 1} \; x \in (-1,1)</math> |
||
[[Goniometrická funkce|Goniometrické funkce]]: |
[[Goniometrická funkce|Goniometrické funkce]]: |
||
*<math>\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty {(-1)}^n \frac{x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!} \; \mbox{ pro } x \in (-\infty,\infty)</math> |
* <math>\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty {(-1)}^n \frac{x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!} \; \mbox{ pro } x \in (-\infty,\infty)</math> |
||
*<math>\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty {(-1)}^n \frac{x^{2 n}}{(2 n)!} \; \mbox{ pro } x \in (-\infty,\infty)</math> |
* <math>\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty {(-1)}^n \frac{x^{2 n}}{(2 n)!} \; \mbox{ pro } x \in (-\infty,\infty)</math> |
||
*<math>\operatorname{tg}\,x = x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15}x^5 + \frac{17}{315}x^7 + \cdots \; \mbox{ pro } x \in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})</math> |
* <math>\operatorname{tg}\,x = x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15}x^5 + \frac{17}{315}x^7 + \cdots \; \mbox{ pro } x \in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})</math> |
||
* <math>\operatorname{cotg}\,x = \frac{1}{x} - \frac{1}{3}x - \frac{1}{45}x^3 - \frac{2}{945}x^5 - \cdots \; \mbox{ pro } x \in (0,\pi)</math> |
* <math>\operatorname{cotg}\,x = \frac{1}{x} - \frac{1}{3}x - \frac{1}{45}x^3 - \frac{2}{945}x^5 - \cdots \; \mbox{ pro } x \in (0,\pi)</math> |
||
Řádek 96: | Řádek 96: | ||
Chceme spočítat Taylorův polynom řádu 7 v bodě 0 funkce <math>f(x)=\log(\cos(x)) </math>. Nejprve si funkci přepíšeme jako <math>f(x)=\log(1+(\cos(x)-1)). </math> |
Chceme spočítat Taylorův polynom řádu 7 v bodě 0 funkce <math>f(x)=\log(\cos(x)) </math>. Nejprve si funkci přepíšeme jako <math>f(x)=\log(1+(\cos(x)-1)). </math> |
||
Taylorův polynom přirozeného logaritmu je <math>\log(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+O(x^4) </math> a funkce kosinus <math>\cos(x)-1=-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}+O(x^8) </math> |
Taylorův polynom přirozeného logaritmu je <math>\log(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+O(x^4) </math> a funkce kosinus <math>\cos(x)-1=-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}+O(x^8) </math> (používáme notaci velké O, neboli [[Landauova notace|Landauovu notaci]]). |
||
Nyní použijeme substituci vnitřní funkce a vynecháme členy stupně vyššího než 7 díky použití notace velké O: |
Nyní použijeme substituci vnitřní funkce a vynecháme členy stupně vyššího než 7 díky použití notace velké O: |
||
Řádek 105: | Řádek 105: | ||
<math>=-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}\frac{x^4}{8}+\frac{x^6}{48}-\frac{x^6}{24}+O(x^8)=-\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{12}-\frac{x^8}{45}+O(x^8) </math>. |
<math>=-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}\frac{x^4}{8}+\frac{x^6}{48}-\frac{x^6}{24}+O(x^8)=-\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{12}-\frac{x^8}{45}+O(x^8) </math>. |
||
Na závěr si můžeme všimnout, že koeficienty u <math>x, x^3, x^5, x^7, \cdot\cdot\cdot </math> |
Na závěr si můžeme všimnout, že koeficienty u <math>x, x^3, x^5, x^7, \cdot\cdot\cdot </math> jsou nulové, což odpovídá tomu, že kosinus je sudá funkce. |
||
=== Druhý příklad === |
=== Druhý příklad === |
||
Chceme spočítat Taylorův polynom funkce |
Chceme spočítat Taylorův polynom funkce <math>g(x)\frac{e^x}{\cos\,x} </math> v bodě 0. |
||
Máme známé Taylorovy polynomy: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+O(x^4) </math> |
Máme známé Taylorovy polynomy: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+O(x^4) </math> a <math>\cos\,x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+O(x^4) </math>. K řešení použijeme [[Metoda neurčitých koeficientů|metodu neurčitých koeficientů]]. |
||
Předpokládejme, že platí <math>\frac{e^x}{\cos\,x}=c_0+c_1x+c_2x^2+c_3x^3+c_4x^4+\cdot\cdot\cdot </math> Vynásobíme obě strany rovnice jmenovatelem |
Předpokládejme, že platí <math>\frac{e^x}{\cos\,x}=c_0+c_1x+c_2x^2+c_3x^3+c_4x^4+\cdot\cdot\cdot </math> Vynásobíme obě strany rovnice jmenovatelem |
||
Řádek 124: | Řádek 124: | ||
<math>\frac{e^x}{\cos\,x}=1-x+x^2+\frac{2}{3}x^3+\frac{x^4}{2}+O(x^4) </math> |
<math>\frac{e^x}{\cos\,x}=1-x+x^2+\frac{2}{3}x^3+\frac{x^4}{2}+O(x^4) </math> |
||
== Odkazy |
== Odkazy == |
||
=== Reference === |
=== Reference === |
||
Řádek 140: | Řádek 140: | ||
=== Externí odkazy === |
=== Externí odkazy === |
||
* {{Commonscat}} |
|||
* [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Calculus/TaylorSeries.shtml Ukázka aproximace kosinu - graf] |
* [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Calculus/TaylorSeries.shtml Ukázka aproximace kosinu - graf] |
||
* [http://ivankuckir.blogspot.com/2010/09/tayloruv-polynom-srozumitelne.html Taylorův polynom - názorné vysvětlení] |
* [http://ivankuckir.blogspot.com/2010/09/tayloruv-polynom-srozumitelne.html Taylorův polynom - názorné vysvětlení] |
Verze z 6. 12. 2016, 23:00
Taylorova řada je v matematice zvláštní mocninná řada.
Za určitých předpokladů o funkci f(x) v okolí bodu a lze tuto funkci vyjádřit (rozvinout) jako mocninnou řadu. Toto vyjádření funkce prostřednictvím Taylorovy řady se označuje jako Taylorův rozvoj. Pokud se jedná o rozvoj v okolí bodu 0, mluvíme o Maclaurinově řadě.
Pro přibližné vyjádření hodnot funkce není nutné vyjadřovat všechny členy Taylorovy řady, ale můžeme zanedbat členy s vyššími derivacemi. Získáme tím tzv. Taylorův polynom. Taylorův polynom tedy aproximuje hodnoty funkce, která má v daném bodě derivaci, pomocí polynomu, jehož koeficienty závisí na derivacích funkce v tomto bodě.
Řada je pojmenována po anglickém matematikovi Brooku Taylorovi, který ji publikoval v roce 1712, avšak metoda aproximace funkce mocninnou řadou byla objevena již roku 1671 Jamesem Gregorym.
Definice
V případě existence všech konečných derivací funkce v bodě lze Taylorovu řadu zapsat jako
Má-li funkce v bodě konečné derivace až do řádu , pak Taylorův polynom řádu funkce v bodě je polynom:
- ,
kde nultou derivací je myšlena samotná funkce, tzn. .
Taylorův polynom je tedy speciálním případem Taylorovy řady, který získáme tehdy, jsou-li od určitého všechny vyšší derivace nulové.
Taylorova věta
Rozvoj funkce , která má v okolí bodu konečné derivace do -tého řádu je obsahem Taylorovy věty, která říká, že takovéto funkce lze v okolí bodu vyjádřit jako
- .
Nechť je funkce spojitá na okolí bodu a zároveň má na tomto okolí vlastní nenulovou derivaci. Potom existuje z tohoto okolí tak, že
- .
Speciálně lze zbytek vyjádřit i některým z následujících tvarů (při zachování odpovídajících podmínek):
- (tzv. Lagrangeův tvar zbytku, tedy )
- (tzv. Cauchyův tvar zbytku, tedy )
Taylorova řada funkce konverguje v bodě k funkční hodnotě právě když
Taylorova řada funkce více proměnných
Pro funkci lze v okolí bodu vyjádřit Taylorovu větu vyjádřit pomocí totálních diferenciálů jako
- ,
kde funkci , která udává chybu, které se dopouštíme při ukončení rozvoje n-tým členem, lze vyjádřit ve tvaru
pro .
Maclaurinova řada
Pro přechází Taylorova řada v řadu Maclaurinovu, tedy
Maclaurinovy řady běžných funkcí
- Maclaurinova řada polynomu je tentýž polynom.
- aproximovanou hodnotu funkce v blízkosti bodu určíme tak, že se omezíme pouze na n členů Taylorova rozvoje, čímž získáme Taylorův polynom stupně n-1
Taylorův rozvoj:
aproximovaná hodnota funkce:
- , kde
Výpočet Taylorova polynomu
Pro výpočet Taylorova polynomu složitějších funkcí se používá několik metod. Dá se počítat přímo z definice, což ale vyžaduje výpočet derivací vyšších řádů, které mohou být složité. Častěji se používá substituce, násobení, dělení, sčítání nebo odčítání Taylorových polynomů známých funkcí.
První příklad
Chceme spočítat Taylorův polynom řádu 7 v bodě 0 funkce . Nejprve si funkci přepíšeme jako
Taylorův polynom přirozeného logaritmu je a funkce kosinus (používáme notaci velké O, neboli Landauovu notaci).
Nyní použijeme substituci vnitřní funkce a vynecháme členy stupně vyššího než 7 díky použití notace velké O:
.
Na závěr si můžeme všimnout, že koeficienty u jsou nulové, což odpovídá tomu, že kosinus je sudá funkce.
Druhý příklad
Chceme spočítat Taylorův polynom funkce v bodě 0.
Máme známé Taylorovy polynomy: a . K řešení použijeme metodu neurčitých koeficientů.
Předpokládejme, že platí Vynásobíme obě strany rovnice jmenovatelem
Dáme k sobě koeficienty u stejných mocnin
Porovnáním s koeficienty Taylorova polynomu exponenciální funkce dostáváme řešení
Odkazy
Reference
V tomto článku byly použity překlady textů z článku Taylor series na anglické Wikipedii.
Související články
Literatura
- Rektorys Karel a kol.: Přehled užité matematiky I.. Prometheus, Praha, 2003, 7. vydání. ISBN 80-7196-179-5
- Tkadlec Josef: Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné. Nakladatelství ČVUT, Praha 2004, 1. vydání. ISBN 80-01-03039-3
- Krbálek Milan: Matematická analýza III. Nakladatelství ČVUT, Praha 2008, 2. vydání.
Externí odkazy
- Obrázky, zvuky či videa k tématu Taylorova řada na Wikimedia Commons
- Ukázka aproximace kosinu - graf
- Taylorův polynom - názorné vysvětlení