Mocninná řada

Mocninná řada (jedné proměnné) v matematice je nekonečná řada tvaru

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-c\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-c)+a_{2}(x-c)^{2}+a_{3}(x-c)^{3}+\cdots$

kde $a_{n}$ je koeficient $n$-tého členu, $c$ je konstanta a $x$ se mění v blízkosti $c$ (z tohoto důvodu můžeme říkat, že řady mají střed v bodě $c$). Tyto řady obvykle vznikají jako Taylorovy řady nějaké známé funkce.

V mnoha situacích je $c$ rovno nule, například u Maclaurinovy řady. Mocninná řada pak má jednodušší tvar

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\cdots .$

Tyto mocninné řady se nejdříve objevily v analýze, ale také se objevují v kombinatorice (pod jménem generující funkce) a v elektrotechnice (pod jménem Z-transformace). Obvyklý desítkový zápis reálných čísel může být také považována za příklad mocninné řady s celočíselnými koeficienty a s pevnou hodnotou argumentu $x={\frac {1}{10}}$. Pojem p-adických čísel v teorii čísel také úzce souvisí s mocninnými řadami.

Příklady

Exponenciální funkce (modře) a suma prvních $n+1$ členů její Maclaurinovy mocninné řady (červeně).

Každý polynom lze vyjádřit jako mocninnou řadu s libovolným středem $c$, která má většinu koeficientů rovných nule. Například polynom $f(x)=x^{2}+2x+3$ může být zapsán jako mocninná řada o středu $c=0$ jako

$f(x)=3+2x+1x^{2}+0x^{3}+0x^{4}+\cdots \,$

nebo o středu $c=1$ jako

$f(x)=6+4(x-1)+1(x-1)^{2}+$

$0(x-1)^{3}+0(x-1)^{4}+\cdots \,$

nebo o středu $c$. Mocninnou řadu můžeme považovat za polynom nekonečného stupně, i když mocninné řady obecně polynomy nejsou.

Vzorec pro geometrickou řadu

${\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots ,$

který platí pro $|x|<1$, je jedním z nejdůležitějších příkladů mocninné řady, stejně jako řada pro exponenciální funkci

$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots ,$

a vzorec pro funkci sinus

$\sin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots ,$

platí pro všechna reálná x. Tyto mocninné řady jsou příkladem Taylorovy řady.

Záporné mocniny nejsou v mocninné řadě povoleny, například $1+x^{-1}+x^{-2}+\cdots$ se nepovažuje za mocninnou řadu (i když to je Laurentova řada). Podobně ani neceločíselné mocniny jako $x^{1/2}$ nejsou povoleny (jsou povoleny u Puiseuxových řad). Koeficienty $a_{n}$ nesmí záviset na $x$, takže například:

$\sin(x)x+\sin(2x)x^{2}+\sin(3x)x^{3}+\cdots \,$ mocninná řada není.

Poloměr konvergence

Mocninná řada konverguje pro některé hodnoty proměnné $x$ a může divergovat pro ostatní hodnoty. Všechny mocninné řady $f(x)$ s mocninami $(x-c)$ konvergují v bodě $x=c$. (Správné hodnoty $f(c)=a_{0}$ vyžadují interpretaci výrazu $0^{0}$ jako rovnou $1$.) Pokud $c$ není jediný bod, kde řada konverguje, pak vždy existuje číslo $r$, $0<r\leq \infty$ takové, že řada konverguje pro každé $|x-c|<r$ a diverguje pro každé $|x-c|>r$. Číslo $r$ se nazývá poloměr konvergence mocninné řady; obecně jej lze zapsat jako

$r=\liminf _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{-{\frac {1}{n}}}$

nebo, ekvivalentně,

$r^{-1}=\limsup _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{\frac {1}{n}}$

(toto je Cauchyova–Hadamardova věta). Rychlý způsob, jak tento výraz spočítat je

$r^{-1}=\lim _{n\to \infty }\left|{a_{n+1} \over a_{n}}\right|$

pokud tato limita existuje.

Řady konverguje absolutně pro $|x-c|<r$ a konverguje stejnoměrně na každé kompaktní podmnožině $\{x:|x-c|<r\}$. To jest, řada je absolutně a kompaktně konvergentní uvnitř disku konvergence.

Pro $|x-c|=r$, nelze obecně říct, zda řada konverguje nebo diverguje. Ale v případě reálných proměnných, Abelova věta říká, že suma řady je spojitá v bodě $x$, pokud řada konverguje v bodě $x$. V případě komplexní proměnné lze pouze prohlásit spojitost podél úsečky začínající v bodě $c$ a končící v bodě $x$.

Operace na mocninných řadách

Sčítání a odčítání

Když jsou dvě funkce $f$ a $g$ rozloženy na mocninnou řadu se stejným středem $c$, mocninnou řadu součtu nebo rozdílu funkcí lze získat sčítáním nebo odčítáním po členech. Neboli pokud

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}$

$g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}$

pak

$f(x)\pm g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}\pm b_{n})(x-c)^{n}.$

Součin a podíl

Pomocí definice uvedené výše pro mocninnou řadu součinu a podílu funkcí platí:

$f(x)g(x)=\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}\right)$

$=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i}b_{j}(x-c)^{i+j}$

$=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}\right)(x-c)^{n}.$

Posloupnost $m_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}$ se nazývá konvoluce posloupností $a_{n}$ a $b_{n}$.

Pro dělení platí:

${f(x) \over g(x)}={\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n} \over \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}}=\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}(x-c)^{n}$

$f(x)=\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}(x-c)^{n}\right)$

a pak lze použít postup uvedený výše s porovnáváním koeficientů.

Derivace a integrace

Pokud je funkce zadaná jako mocninná řada, je derivovatelná uvnitř oboru konvergence. Řadu lze snadno derivovat a integrovat člen po členu:

$f^{\prime }(x)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n\left(x-c\right)^{n-1}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n+1}\left(n+1\right)\left(x-c\right)^{n}$

$\int f(x)\,dx=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}\left(x-c\right)^{n+1}}{n+1}}+k=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1}\left(x-c\right)^{n}}{n}}+k.$

Obě tyto řady mají stejný poloměr konvergence jako původní.

Analytické funkce

Funkce $f$ definované na nějaké otevřené podmnožině $U$ množiny $\mathbb {R}$ nebo $\mathbb {C}$ se nazývá analytická, pokud je lokálně zadaná jako konvergentní mocninná řada. To znamená, že $\forall a\in U$ má otevřené okolí $V\subset U$, takové, že existuje mocninná řada o středu $a$, která konverguje k $f(x)$ pro $\forall x\in V$.

Každá mocninná řada s kladným poloměrem konvergence je analytická na uvnitř své oblasti konvergence. Všechny holomorfní funkce jsou komplexně analytické. Součty a násobky analytických funkce jsou analytické, stejně jako podíly, pokud je dělitel nenulový.

Pokud funkce je analytická, pak existují její derivace všech řádů, ale opak v reálném případě obecně neplatí. Koeficienty analytické funkce $a_{n}$ lze vyjádřit jako

$a_{n}={\frac {f^{\left(n\right)}\left(c\right)}{n!}}$

kde $f^{(n)}(c)$ označuje $n$-tou derivaci $f$ v bodě $c$ a $f^{(0)}(c)=f(c)$. To znamená, že každá analytická funkce je lokálně reprezentovaná svoji Taylorovou řadou.

Obecná forma analytické funkce je zcela určena svým lokálním chováním v následujícím smyslu: pokud $f$ a $g$ jsou dvě analytické funkce definované na stejné souvislé otevřené množině $U$, a pokud $\forall n\geq 0{\mbox{ }}\exists c\in U,f^{\left(n\right)}\left(c\right)=g^{\left(n\right)}\left(c\right)$, pak platí $f\left(x\right)=g\left(x\right)\forall x\in U$.

Pokud je zadaná mocninná řada s poloměrem konvergence $r$, můžeme uvažovat analytické pokračování řady, tj. analytické funkce $f$, které jsou definované na větších množinách než $\{x:|x-c|<r\}$ a souhlasí se zadanou mocninnou řadou na této množiny. Číslo $r$ je maximální v následujícím smyslu: vždy existuje komplexní číslo $x$ s $|x-c|=r$ takový, že žádné analytické pokračování řady nemůže být v bodě $x$.

Rozvoj mocninná řada inverzní funkce analytické funkce může být určena pomocí Lagrangeovy inverzní formule.

Formální mocninná řada

V abstraktní algebře, lze zachytit podstatu mocninných řad bez omezení na obor integrity reálných nebo komplexních čísel a bez potřeby uvažovat konvergenci. To vede k pojmu formální mocninné řady, který je velmi užitečný v algebraické kombinatorice.

Mocninné řady více proměnných

Rozšíření teorie je nutné pro diferenciální a integrální počet více proměnných. Mocninná řada je zde definované jako nekonečná řada tvaru

$f(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{j_{1},\dots ,j_{n}=0}^{\infty }a_{j_{1},\dots ,j_{n}}\prod _{k=1}^{n}\left(x_{k}-c_{k}\right)^{j_{k}},$

kde $j=\left(j_{1},\dots ,j_{n}\right)$ je vektor přirozených čísel, koeficienty $a_{(j_{1},\dots ,j_{n})}$ jsou obvykle reálná nebo komplexní čísla, a střed $c=(c_{1},\dots ,c_{n})$ a argument $x=(x_{1},\dots ,x_{n})$ jsou obvykle reálné nebo komplexní vektory. V obvyklejší multi-indexové notaci lze napsat

$f(x)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} ^{n}}a_{\alpha }\left(x-c\right)^{\alpha }.$

Teorie takových řad je složitější než teorie řad jedné proměnné, se složitějšími oblastmi konvergence. Například mocninná řada $\sum _{n=0}^{\infty }x_{1}^{n}x_{2}^{n}$ je absolutně konvergentní na $\{(x_{1},x_{2}):|x_{1}x_{2}|<1\}$ mezi oběma hyperbolami. (Toto je příklad log-konvexní množiny v tom smyslu, že množina bodů $(\log |x_{1}|,\log |x_{2}|)$, kde $(x_{1},x_{2})$ leží v uvedené oblasti, je konvexní množina. Obecněji můžeme ukázat, že pokud $c=0$, uvnitř oblasti absolutní konvergence je vždy log-konvexní množina v tom to smyslu.) Na druhou stranu, uvnitř této oblasti konvergence můžeme derivovat a integrovat pod symbolem řady stejně jako v případě normální mocninné řady.

Řád mocninné řady

Nechť α je multi-index mocninné řady $f(x_{1},\dots ,x_{n})$. Řád mocninné řady $f$ se definuje jako nejmenší hodnota $|\alpha |$ taková, že $a_{\alpha }\neq 0$, nebo $0$ pokud $f\equiv 0$. Speciálně pro mocninnou řadu $f(x)$ jedné proměnné $x$, řád $f$ je nejmenší mocnina $x$ s nenulovým koeficientem. Tuto definici lze jednoduše rozšířit na Laurentovy řady.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Power series na anglické Wikipedii.

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu mocninná řada na Wikimedia Commons
• Mocninná řada v encyklopedii MathWorld (anglicky)
• Mocninná řada v encyklopedii MathWorld (anglicky)
• Complex Power Series Module by John H. Mathews
• Powers of Complex Numbers by Michael Schreiber, Wolfram Demonstrations Project
• Power series Encyclopedia of Mathematics