Analytická geometrie

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
(přesměrováno z Vzájemná poloha rovin)
Skočit na: Navigace, Hledání

Analytická geometrie (také souřadnicová geometrie nebo kartézská geometrie) je část geometrie, která zkoumá geometrické útvary v euklidovské geometrii pomocí algebraických a analytických metod.

V analytické geometrii jsou geometrické útvary v prostoru vyjadřovány čísly a rovnicemi ve zvolených souřadnicových soustavách. Mnohé problémy analytické geometrie jsou úzce svázány s lineární algebrou.


Historie[editovat | editovat zdroj]

Za zakladatele analytické geometrie je považován René Descartes, který publikoval základní metody v roce 1637 ve svém spisu La Géométrie.

Analytická geometrie v Euklidovském prostoru[editovat | editovat zdroj]

V euklidovském prostoru obvykle máme danou soustavu souřadnic bodů i vektorů. Velikost vektoru je a skalární součin vektorů . Přímky jsou dány jako množiny kde a je bod a v vektor. V dvourozměrném prostoru je navíc definována kružnice jako množina bodů v rovině, které mají stejnou vzdálenost od jednoho bodu (středu kružnice). Její rovnice je . Takto popsaný prostor, ve kterém můžeme definovat přímky, body, úhly a vzdálenosti pomocí rovnic a souřadnic, tvoří model pro euklidovské geometrie.

Vzájemná poloha geometrických útvarů[editovat | editovat zdroj]

Vzájemnou polohu geometrických útvaru popsaných rovnicemi lze obvykle určit z vlastností těchto rovnic, resp. z (ne)existence jejich řešení.

Vzájemná poloha bodu a křivky[editovat | editovat zdroj]

Bod může ležet buď mimo křivku, nebo na ní.
Bod A leží na křivce p pokud dosazením souřadnic bodu do rovnice křivky získáme rovnost.

Vzájemná poloha bodu a přímky[editovat | editovat zdroj]

Pokud bod leží na přímce, rozděluje ji takto na dvě polopřímky. Bod ležící mimo přímku s ní určuje jednu rovinu.
Obdobně jako u obecné křivky, bod A leží na přímce p pokud dosazením souřadnic bodu do rovnice přímky získáme rovnost.

Leží-li bod mimo přímku, je možno určit jejich vzájemnou vzdálenost.

Vzájemná poloha bodu a kružnice[editovat | editovat zdroj]

Obecný bod může ležet

Vzájemnou polohu bodu a kružnice určuje tzv. mocnost bodu ke kružnici. Máme-li kružnici určenou vztahem , pak mocnost bodu k této kružnici se určí jako

Pro leží bod na kružnici, pro leží bod vně kružnice a pro uvnitř kružnice.

Vzájemná poloha dvou přímek[editovat | editovat zdroj]

V rovině[editovat | editovat zdroj]

Rovnoběžky v rovině jsou přímky, které mají stejný směr a nemají žádný společný bod. Speciálním případem je totožnost. Dále různoběžky jsou přímky, které se protínají právě v jednom boděprůsečíku. Ten je tedy jejich jediným společným bodem.

Dvě přímky v rovině se dají popsat jako množina bodů splňujících rovnice

Podmínka rovnoběžnosti je . Přímky jsou kolmé, pokud jejich směrnice splňují podmínku .

Průsečík dvou přímek získáme řešením této soustavy, čímž dostaneme souřadnice průsečíku

V třírozměrném prostoru[editovat | editovat zdroj]

Rovnoběžky v prostoru jsou přímky, které mají stejný směr. Speciálním případem jsou totožné přímky. Dále různoběžky jsou přímky, které se protínají právě v jednom bodě, tedy mají právě jeden společný bod. Mimoběžky jsou přímky, které neleží ve stejné rovině a proto se neprotínají i když mají různý směr.

Dvě přímky můžou být zadané rovnicemi

.

a

(předpokládejme, že první i druhá dvojice rovnic opravdu určuje přímku a ne rovinu nebo prázdnou množinu). Tyto dvě přímky se protínají, pokud matice

je singulární. Přímky jsou totožné, pokud tato maticehodnost 2. Přímky jsou rovnoběžné, pokud matice tvořená prvními třemi sloupci A má hodnost 2.

Vzájemná poloha dvou kružnic[editovat | editovat zdroj]

Jako vzájemná poloha dvou kružnic se v geometrii označuje počet průsečíků a poloha dvou kružnic. Tato poloha je závislá na velikosti poloměrů jednotlivých kružnic , a vzdálenosti jejich středů s.

Vzájemné polohy dvou kružnic.

Kružnice

  • jsou soustředné, pokud s = 0 (viz kružnice k a k1)
    • pokud zároveň , pak jsou kružnice totožné a mají nekonečně mnoho společných bodů
    • v ostatních případech () nemají společný bod.
  • nemají společný bod (menší kružnice leží celá uvnitř větší), pokud (viz kružnice k a k2)
  • mají vnitřní dotyk, pokud (viz kružnice k a k3)
  • se protínají (mají 2 společné průsečíky), pokud (viz kružnice k a k4)
  • mají vnější dotyk, pokud s = r1 + r2 (viz kružnice k a k5)
  • nemají společný bod (leží vně), pokud s > r1 + r2 (viz kružnice k a k6)

Jsou-li kružnice zadány svými rovnicemi, lze jejich vzájemnou polohu určit řešením odpovídající soustavy rovnic.

Vzájemná poloha přímky a kružnice[editovat | editovat zdroj]

Vzájemná poloha přímky a kružnice.

Vzájemná poloha přímky a kružnice (ležící v téže rovině) závisí na vzdálenosti s středu kružnice od přímky a poloměru .

  • : přímka nemá s kružnicí žádný společný bod (tzv. vnější přímka kružnice nebo nesečna)
  • : přímka se nazývá tečnou ke kružnici a má s ní 1 společný bod dotyku
  • : přímka se nazývá sečna a má s kružnicí 2 společné body (průsečíky) a úsečka s krajními body v průsečících se nazývá tětiva (nejdelší tětiva je průměr)

Přímka tedy může kružnici protínat ve dvou, v jednom nebo v žádném bodě.

Mějme přímku zadanou směrnicovou rovnicí a kružnici se středem v počátku a rovnicí , pak souřadnice průsečíků, které získáme řešením této soustavy rovnic, jsou

O poloze přímky vzhledem ke kružnici rozhoduje člen . Pro protíná přímka kružnici ve dvou různých bodech (přímka je sečnou kružnice). Pro mají přímka a kružnice společný právě jeden bod, tzn. přímka se kružnice pouze dotýká (přímka je tečnou kružnice). Pro přímka kružnici neprotíná v žádném bodě (jde o tzv. vnější přímku kružnice).

Vzájemná poloha dvou rovin v třírozměrném prostoru[editovat | editovat zdroj]

Dvě různé roviny v trojrozměrném prostoru, které mají společnou přímku , nazýváme různoběžnými a značíme . Přímka se nazývá průsečnice obou rovin a .

Dvě různé roviny, které nemají v prostoru žádný společný bod anebo jsou identické (totožné), označujeme jako rovnoběžné.

Pokud jsou roviny popsány rovnicemi a , pak se protínají, pokud tyto dvě rovnice mají společné řešení, jsou rovnoběžné pokud nemají řešení a jsou totožné, pokud druhá rovina je násobkem první rovnice.

Související články[editovat | editovat zdroj]