Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Smazaný obsah Přidaný obsah
Řádek 1:
Řádek 1:
Pokud ''A'' je [[matice]] ''m'' × ''n'' a ''B'' je matice ''n'' × ''p'' (tedy pokud první matice má stejný počet sloupců jako druhá matice řádků), jejich '''součin''' ''A × B'' je matice ''m'' × ''p'' zadaná
Pokud ''A'' je [[matice]] ''m'' × ''n'' a ''B'' je matice ''n'' × ''p'' (tedy pokud první matice má stejný počet sloupců jako druhá matice řádků), jejich '''součin''' ''A × B'' je matice ''m'' × ''p'' zadaná
:<math> (A\times B)_{ij} = \sum_{r=1}^n a_{ir}b_{rj} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{in}b_{nj}. </math>
:<math> (A\cdot B)_{ij} = \sum_{r=1}^n a_{ir}b_{rj} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{in}b_{nj}. </math>
pro všechny dvojice ''i'' a ''j''.
pro všechny dvojice ''i'' a ''j''.
Verze z 19. 9. 2007, 12:01
Pokud A je matice m × n a B je matice n × p (tedy pokud první matice má stejný počet sloupců jako druhá matice řádků), jejich součin A × B je matice m × p zadaná
(
A
⋅
B
)
i
j
=
∑
r
=
1
n
a
i
r
b
r
j
=
a
i
1
b
1
j
+
a
i
2
b
2
j
+
⋯
+
a
i
n
b
n
j
.
{\displaystyle (A\cdot B)_{ij}=\sum _{r=1}^{n}a_{ir}b_{rj}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots +a_{in}b_{nj}.}
pro všechny dvojice i a j .
O násobení matic se také hovoří jako o maticovém násobení .
V podstatě jde o skalární součin vektoru řádku první matice s vektorem sloupce druhé matice. Tento výsledek se pak zapíše na pozici ve výsledné matici, jejíž index odpovídá číslu řádku první matice a číslu sloupce druhé matice.
Příklad výpočtu Pokud předchozí rovnici příliš nerozumíte, možná Vám pomůže tento ukázkový příklad:
A
=
[
1
2
3
4
5
6
7
8
9
]
B
=
[
10
20
30
40
50
60
70
80
90
]
{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\\\end{bmatrix}}\ \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}10&20&30\\40&50&60\\70&80&90\\\end{bmatrix}}}
A
⋅
B
=
[
(
1
⋅
10
)
+
(
2
⋅
40
)
+
(
3
⋅
70
)
(
1
⋅
20
)
+
(
2
⋅
50
)
+
(
3
⋅
80
)
(
1
⋅
30
)
+
(
2
⋅
60
)
+
(
3
⋅
90
)
(
4
⋅
10
)
+
(
5
⋅
40
)
+
(
6
⋅
70
)
(
4
⋅
20
)
+
(
5
⋅
50
)
+
(
6
⋅
80
)
(
4
⋅
30
)
+
(
5
⋅
60
)
+
(
6
⋅
90
)
(
7
⋅
10
)
+
(
8
⋅
40
)
+
(
9
⋅
70
)
(
7
⋅
20
)
+
(
8
⋅
50
)
+
(
9
⋅
80
)
(
7
⋅
30
)
+
(
8
⋅
60
)
+
(
9
⋅
90
)
]
{\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}(1\cdot 10)+(2\cdot 40)+(3\cdot 70)&(1\cdot 20)+(2\cdot 50)+(3\cdot 80)&(1\cdot 30)+(2\cdot 60)+(3\cdot 90)\\(4\cdot 10)+(5\cdot 40)+(6\cdot 70)&(4\cdot 20)+(5\cdot 50)+(6\cdot 80)&(4\cdot 30)+(5\cdot 60)+(6\cdot 90)\\(7\cdot 10)+(8\cdot 40)+(9\cdot 70)&(7\cdot 20)+(8\cdot 50)+(9\cdot 80)&(7\cdot 30)+(8\cdot 60)+(9\cdot 90)\\\end{bmatrix}}}
Jiný příklad:
[
1
0
2
−
1
3
1
]
⋅
[
3
1
2
1
1
0
]
=
[
1
−
1
]
[
3
1
]
+
[
0
3
]
[
2
1
]
+
[
2
1
]
[
1
0
]
=
[
1
⋅
3
1
⋅
1
−
1
⋅
3
−
1
⋅
1
]
+
[
0
⋅
2
0
⋅
1
3
⋅
2
3
⋅
1
]
+
[
2
⋅
1
2
⋅
0
1
⋅
1
1
⋅
0
]
=
[
5
1
4
2
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&2\\-1&3&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}3&1\\2&1\\1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}3&1\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0\\3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}2&1\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\cdot 3&1\cdot 1\\-1\cdot 3&-1\cdot 1\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0\cdot 2&0\cdot 1\\3\cdot 2&3\cdot 1\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}2\cdot 1&2\cdot 0\\1\cdot 1&1\cdot 0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5&1\\4&2\end{bmatrix}}}
Vlastnosti
A
⋅
(
B
+
C
)
=
A
⋅
B
+
A
⋅
C
{\displaystyle \mathbf {A} \cdot \left(\mathbf {B} +\mathbf {C} \right)=\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} +\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} }
A
⋅
(
c
B
)
=
c
A
⋅
B
{\displaystyle \mathbf {A} \cdot \left(c\mathbf {B} \right)=c\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} }
Při maticovém násobení může být součin dvou nenulových matic
A
,
B
{\displaystyle \mathbf {A} ,\mathbf {B} }
nulové matici .
Maticové násobení není komutativní , tedy obecně
A
⋅
B
≠
B
⋅
A
{\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} \neq \mathbf {B} \cdot \mathbf {A} }
a to ani v případě čtvercových matic .
Násobení matice
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
jednotkovou maticí
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
E
⋅
A
=
A
⋅
E
=
A
{\displaystyle \mathbf {E} \cdot \mathbf {A} =\mathbf {A} \cdot \mathbf {E} =\mathbf {A} }
kde
A
,
E
{\displaystyle \mathbf {A} ,\mathbf {E} }
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
C
=
A
⋅
B
{\displaystyle \mathbf {C} =\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} }
potom pro jejich determinanty platí
det
C
=
det
A
det
B
{\displaystyle \det \mathbf {C} =\det \mathbf {A} \,\det \mathbf {B} }
Vzhledem k nekomutativnosti maticového násobení má význam tzv. komutátor matic
[
A
,
B
]
=
A
⋅
B
−
B
⋅
A
{\displaystyle [\mathbf {A} ,\mathbf {B} ]=\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} -\mathbf {B} \cdot \mathbf {A} }
Pro transpozici součinu dvou matic
A
,
B
{\displaystyle \mathbf {A} ,\mathbf {B} }
(
A
⋅
B
)
T
=
B
T
⋅
A
T
{\displaystyle {(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )}^{T}=\mathbf {B} ^{T}\cdot \mathbf {A} ^{T}}
Pro inverzní matici součinu dvou matic
A
,
B
{\displaystyle \mathbf {A} ,\mathbf {B} }
(
A
⋅
B
)
−
1
=
B
−
1
⋅
A
−
1
{\displaystyle {(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )}^{-1}=\mathbf {B} ^{-1}\cdot \mathbf {A} ^{-1}}
Pro hermiteovské sdružení součinu matic platí
(
A
⋅
B
)
+
=
B
+
⋅
A
+
{\displaystyle {(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )}^{+}=\mathbf {B} ^{+}\cdot \mathbf {A} ^{+}}
Související články Šablona:Matematický pahýl
![{\displaystyle [\mathbf {A} ,\mathbf {B} ]=\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} -\mathbf {B} \cdot \mathbf {A} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/692b3585066d9dcd6d0dacb1f5335ae0d2c9e9fa)
