Poziční číselná soustava

Poziční číselná soustava je dnes převládající způsob písemné reprezentace čísel – dokonce pokud se dnes mluví o číselných soustavách, jsou tím obvykle myšleny soustavy poziční. V tomto způsobu zápisu čísel je hodnota každé číslice dána její pozicí v sekvenci symbolů, každá číslice má touto pozicí dánu svou váhu pro výpočet celkové hodnoty čísla, zpravidla zprava doleva se vzrůstající váhou. Celá část je oddělena od zlomkové speciálním znakem (zpravidla řádovou čárkou či tečkou). Patrně historicky posledním nezbytným předpokladem pro vynalezení pozičních soustav bylo objevení symbolu pro nulu.

Výhodou tohoto způsobu zápisu je velká pružnost a poměrně malá množina číslic. Za nevýhodu je považována velmi snadná změna hodnoty čísla pouhým připsáním číslice před původní číslo. Proto se před peněžní částky v bance obvykle píše vlnovka, takový způsob dodatečného falšování znemožňující. Možným omylům tohoto typu se tím ovšem nepředejde, a proto se částka vypisuje slovně.

Základní informace

Klíčovou charakteristikou pozičních soustav je jejich základ. To je obvykle přirozené číslo větší než jedna. Váhy jednotlivých číslic jsou pak mocninami tohoto základu. Zároveň základ určuje počet symbolů pro číslice používaných v dané soustavě. Základ obvykle značíme z, v literatuře se však lze setkat i se značením jako r z anglického „radix“.

V pozičních číselných soustavách má také smysl mluvit o řádech čísel. Kde za řád číslice považujeme její váhu a za řád čísla maximální váhu nenulové číslice.

Názvy soustav se v češtině tvoří odvozením zejména pro číslice (dvojice číslic, ...), které by zapsaly základ soustavy v desítkové soustavě, např. dvojková, osmičková (desítková, šestnáctková, ...) číselná soustava. Sami tuto číslici tak (paradoxně) neobsahují - základ se v nich zapíše jako jednička a nula: 10.

Nejběžnější desítková soustava, nazvaná podle svého základu (10), má deset symbolů pro číslice: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 a 9. Váhy jednotlivých číslic jsou mocniny čísla 10: …; 1000; 100; 10; 1; 0,1; 0,01; … Pro soustavy o vyšším základu než je tradiční počet číslic (tedy deset) se pro vyšší číslice používají písmena bez akcentů. Například šestnáctková soustava tak má symboly: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E a F.

Způsob zápisu

V běžně používaných číselných soustavách se jednotlivé číslice zapisují za sebe podle klesajícího řádu, nijak se neoddělují. Řádová čárka (tečka) odděluje celou a zlomkovou část čísla, není-li uvedena, značí zápis číslo celé. Někdy se pro přehlednost oddělují také významnější řády: tisíce, milióny, apod. Číslo $N$ v soustavě o základu $r$ se tak zapisuje:

$N=(n_{k-1}n_{k-2}...n_{1}n_{0}{,}n_{-1}n_{-2}...n_{-l})_{r}\,\!$, kde $n_{k-1}\neq 0\,\!$ je nejvyšší platná číslice, $n_{-l}\neq 0\,\!$ nejnižší platná číslice (existuje-li takové konečné $l$) a $r$ základ číselné soustavy.

Takovému zápisu se říká prostě poziční zápis, protože pozice každé číslice v daném čísle představuje její relativní váhu významnosti. Přitom se porovná s jednotkou (nultou mocninou základu) tím, že se za jednotky píše řádová čárka (tečka) (není-li uvedena, jsou posledním řádem vždy jednotky a není-li nejnižší platná číslice jednotkového řádu, musí být nižší řády až do jednotek doplněny nulami).

V případě desítkové soustavy se číslo dle konvence nezapisuje do závorek, ani není nutné k němu psát jeho základ.

Například Ludolfovo číslo v číselné soustavě o základu 10 a s přesností na 2 desetinná čísla lze zapsat pozičně následovně: $\pi =(3{,}14)_{10}\,\!$

Určení hodnoty

Hodnotu čísla $N$ zapsanáho v dané soustavě o základu $r$ získáme jako součet hodnot jednotlivých číslic vynásobených jejich vahou. Každá číslice $n_{i}$ je zde vynásobena vahou, která je dána její pozicí $i$ a která je vyjádřena mocninou o základu $r$. Takovému zápisu se říká polynomiální zápis (také polynomický).

Obecně lze tedy zapsat číslo v číselné soustavě o základu $r$ polynomem následovně:

$N=\sum _{i=-l}^{k-1}n_{i}{\cdot }r^{i}=n_{k-1}r^{k-1}+n_{k-2}r^{k-2}+...+n_{0}r^{0}+n_{-1}r^{-1}+...+n_{-l+1}r^{-l+1}+n_{-l}r^{-l}$

Například hodnotu čísla (10010)₂ získáme takto:

$(10010)_{2}=0\cdot 2^{0}+1\cdot 2^{1}+0\cdot 2^{2}+0\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{4}=0+2+0+0+16=18$

a obdobně z šestnáctkové soustavy pro číslo (132)₁₆:

$(132)_{16}=2\cdot 16^{0}+3\cdot 16^{1}+1\cdot 16^{2}=2+48+256=306$

Zápis čísla v dané soustavě

Postup pro zápis čísla v dané číselné soustavě se liší pro jeho celou a zlomkovou část.

Pro převod čísla mezi soustavami lze použít substituční metodu při použití aritmetiky cílové soustavy a nebo pro celá čísla metodu dělení základem a pro zlomková čísla (zlomkovou část) metodu násobení základem.

Celá část čísla - metoda dělení základem

Pro převod celé části – nebo také převod kladných celých čísel – lze použít následující postup:

1. Převáděné číslo celočíselně dělíme základem cílové soustavy.
2. Vycházející zbytky zapisujeme odzadu, tj. zprava od řádové čárky vždy dále doleva.
3. Výsledek dělení použijeme v dalším cyklu algoritmu.
4. Předcházející kroky opakujeme dokud není výsledkem dělení nula.

Což v konkrétním případě (158)₁₀=(x)₂ znamená:

$158\,:\,2\,=\,79\,zb.\,0$

$79\,:\,2\,=\,39\,zb.\,1$

$39\,:\,2\,=\,19\,zb.\,1$

$19\,:\,2\,=\,9\,zb.\,1$

$9\,:\,2\,=\,4\,zb.\,1$

$4\,:\,2\,=\,2\,zb.\,0$

$2\,:\,2\,=\,1\,zb.\,0$

$1\,:\,2\,=\,0\,zb.\,1$

Zapíšeme-li zbytky do řady odzdola, je výsledek: (158)₁₀=(10011110)₂

Zlomková část čísla - metoda násobení základem

Pro část čísla za řádovou čárkou se postupuje podobně – jen se místo dělení násobí. Postup je tedy následující:

1. Zlomkovou (např. desetinnou) část násobíme základem cílové soustavy
2. Celá část získaného čísla je příslušnou číslicí požadovaného zápisu v cílové číselné soustavě, kterou zapíšeme za řádovou čárku.
3. Zbylou zlomkovou část použijeme v další iteraci algoritmu:
   • násobíme základem cílové soustavy,
   • připíšeme celou část výsledku násobení vpravo k cílovému zápisu.
4. Předchozí kroky se opakují, dokud není dosažen zbytek 0 nebo požadovaná přesnost výsledku

Zápis čísla (0,6789)₁₀=(x)₂ tedy lze získat následovně:

$0{,}6789\,\cdot \,2\,=\,1{,}3578\,=\,1\,+\,0{,}3578$

$0{,}3578\,\cdot \,2\,=\,0{,}7156\,=\,0\,+\,0{,}7156$

$0{,}7156\,\cdot \,2\,=\,1{,}4312\,=\,1\,+\,0{,}4312$

$0{,}4312\,\cdot \,2\,=\,0{,}8624\,=\,0\,+\,0{,}8624$

$0{,}8624\,\cdot \,2\,=\,1{,}7248\,=\,1\,+\,0{,}7248$

Pak tedy (0,6789)₁₀=(0,10101)₂

Přímé převody mezi soustavami

Ukázka k příkladu

1	0	0	1	0	0	0	1
9				1

Běžný postup při převodu čísel mezi dvěma číselnými soustavami je převod přes desítkovou soustavu.

Pokud však základ jedné soustavy je mocninou základu soustavy druhé, lze postupovat i přímo.
Obvykle se tento postup používá při převodu mezi dvojkovou a šestnáctkovou soustavou. Protože je 16 = 2⁴ odpovídá každým čtyřem číslicím dvojkového čísla právě jedna číslice šestnáctková a lze je převádět (např. z 16 na 2) podle jednoduché přiřazovací tabulky, případně i zpaměti. V daném případě při převodu ze základu 2 na základ 16 je (1001)₂ = (9)₁₆ a (0001)₂ = (1)₁₆ a proto (10010001)₂ = (91)₁₆.

Příklady pozičních soustav

Současné

• Dvojková soustava (binární) — z = 2
• Osmičková soustava (oktalová) — z = 8
• Desítková soustava (decimální) — z = 10
• Šestnáctková soustava (hexadecimální) — z = 16
• Dvacítková soustava (vigesimální) — z = 20

Historické

• Mayská dvacítková soustava
• Indické číslice

Související články

• Nepoziční číselná soustava
• Číselná soustava