Integrální kritérium konvergence

Integrální kritérium použité na harmonickou řadu. Protože plocha pod křivkou y = 1/x pro $x\in \langle 1,\infty )$ je nekonečná, celková plocha obdélníků musí být také nekonečná.

Integrální kritérium konvergence je v matematice metoda pro zjišťování, zda nekonečná řada s nezápornými členy konverguje. Kritérium objevili Colin Maclaurin a Augustin Louis Cauchy, proto jej někteří autoři nazývají Maclaurinovo–Cauchyovo kritérium.

Tvrzení

Uvažujme celé číslo N a nezápornou funkci f definovanou na neomezeném intervalu $\langle N,\infty )$, na kterém je funkce monotonně klesající. Pak nekonečná řada

$\sum _{n=N}^{\infty }f(n)$

konverguje k nějakému reálnému číslu právě tehdy, když nevlastní integrál

$\int _{N}^{\infty }f(x)\,dx$

je konečný. Pokud integrál diverguje, pak řada diverguje také.

Poznámka

Pokud je nevlastní integrál konečný, pak důkaz také poskytuje dolní a horní mez součtu nekonečné řady:

$\int _{N}^{\infty }f(x)\,dx\leq \sum _{n=N}^{\infty }f(n)\leq f(N)+\int _{N}^{\infty }f(x)\,dx$

(1)

Důkaz

Důkaz využívá srovnávací kritérium pro porovnání členu $f(n)$ s integrálem funkce $f$ na intervalech $\langle n-1,n)$, resp. $\langle n,n+1)$.

Je-li f je monotonně klesající funkce, pak

$f(x)\leq f(n)\quad \forall x\in \langle n,\infty )$

a

$f(n)\leq f(x)\quad \forall x\in \langle N,n\rangle .$

a proto pro každé celé číslo n ≥ N platí

$\int _{n}^{n+1}f(x)\,dx\leq \int _{n}^{n+1}f(n)\,dx=f(n)$

(2)

a pro každé celé číslo n ≥ N + 1,

$f(n)=\int _{n-1}^{n}f(n)\,dx\leq \int _{n-1}^{n}f(x)\,dx.$

(3)

Sumací pro všechna n od N do M, dostaneme z (2)

$\int _{N}^{M+1}f(x)\,dx=\sum _{n=N}^{M}\underbrace {\int _{n}^{n+1}f(x)\,dx} _{\leq \,f(n)}\leq \sum _{n=N}^{M}f(n)$

a z (3)

$\sum _{n=N}^{M}f(n)\leq f(N)+\sum _{n=N+1}^{M}\underbrace {\int _{n-1}^{n}f(x)\,dx} _{\geq \,f(n)}=f(N)+\int _{N}^{M}f(x)\,dx.$

Zkombinování těchto dvou odhadů dostaneme

$\int _{N}^{M+1}f(x)\,dx\leq \sum _{n=N}^{M}f(n)\leq f(N)+\int _{N}^{M}f(x)\,dx.$

Pro M jdoucí k nekonečnu dostáváme (1).

Použití

Harmonická řada

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$

diverguje, protože aplikací přirozeného logaritmu, jeho primitivní funkce a použitím základní věty integrálního počtu dostaneme

$\int _{1}^{M}{\frac {1}{n}}\,dn=\ln n{\Bigr |}_{1}^{M}=\ln M\to \infty \quad {\text{pro }}M\to \infty .$

A naopak, řada

$\zeta (1+\varepsilon )=\sum _{x=1}^{\infty }{\frac {1}{x^{1+\varepsilon }}}$

(srovnejte s Riemannovou funkcí zeta) konverguje pro každé ε > 0 díky pravidlu pro integraci mocniny

$\int _{1}^{M}{\frac {1}{x^{1+\varepsilon }}}\,dx=-{\frac {1}{\varepsilon x^{\varepsilon }}}{\biggr |}_{1}^{M}={\frac {1}{\varepsilon }}{\Bigl (}1-{\frac {1}{M^{\varepsilon }}}{\Bigr )}\leq {\frac {1}{\varepsilon }}<\infty \quad \forall M\geq 1.$

Z (1) dostaneme horní odhad

$\zeta (1+\varepsilon )=\sum _{x=1}^{\infty }{\frac {1}{x^{1+\varepsilon }}}\leq {\frac {1+\varepsilon }{\varepsilon }},$

který lze porovnávat s nějakými určitými hodnotami Riemannovy funkce zeta.

Hranice mezi divergencí a konvergencí

Výše uvedené příklady s harmonickou řadou vyvolávají otázku, zda existují monotonní posloupnosti tak, že f(n) klesá k nule rychleji než 1/n ale pomaleji než 1/n^1+ε v tom smyslu, že

$\lim _{n\to \infty }{\frac {f(n)}{1/n}}=0\quad {\text{a}}\quad \lim _{n\to \infty }{\frac {f(n)}{1/n^{1+\varepsilon }}}=\infty$

pro každé ε > 0 a zda odpovídající řada f(n) stále diverguje. Pokud nalezneme takovou posloupnost, můžeme položit podobnou otázku, v níž f(n) má roli 1/n, atd. Tímto způsobem je možné zkoumat hranici mezi divergencí a konvergencí nekonečné řady.

Při použití integrálního kritérium konvergence můžeme ukázat (jak je uvedeno níže), že pro každé přirozené číslo k řada

$\sum _{n=N_{k}}^{\infty }{\frac {1}{n\ln(n)\ln _{2}(n)\cdots \ln _{k-1}(n)\ln _{k}(n)}}$

(4)

stále diverguje (srovnejte s důkazem, že suma převrácených hodnot prvočísel diverguje pro k = 1) ale

$\sum _{n=N_{k}}^{\infty }{\frac {1}{n\ln(n)\ln _{2}(n)\cdots \ln _{k-1}(n)(\ln _{k}(n))^{1+\varepsilon }}}$

(5)

konverguje pro každé ε > 0. Zde ln_k označuje k-násobnou aplikaci přirozeného logaritmu definovanou rekurzivně vztahem

$\ln _{k}(x)={\begin{cases}\ln(x)&{\text{pro }}k=1,\\\ln(\ln _{k-1}(x))&{\text{pro }}k\geq 2.\end{cases}}$

N_k označuje nejmenší přirozené číslo takové, že je definovaná k-násobná aplikace funkce a ln_k(N_k) ≥ 1, tj. s použitím tetrace nebo Knuthova zápisu

$N_{k}\geq \underbrace {e^{e^{\cdot ^{\cdot ^{e}}}}} _{k\ e'{\text{s}}}=e\uparrow \uparrow k$

Pro zjištění divergence řady (4) pomocí integrálního kritéria si všimneme, že opakovaným použitím řetízkového pravidla

${\frac {d}{dx}}\ln _{k+1}(x)={\frac {d}{dx}}\ln(\ln _{k}(x))={\frac {1}{\ln _{k}(x)}}{\frac {d}{dx}}\ln _{k}(x)=\cdots ={\frac {1}{x\ln(x)\cdots \ln _{k}(x)}},$

tedy

$\int _{N_{k}}^{\infty }{\frac {dx}{x\ln(x)\cdots \ln _{k}(x)}}=\ln _{k+1}(x){\bigr |}_{N_{k}}^{\infty }=\infty .$

Pro zjištění konvergence řady (5) si všimneme, že podle pravidla o derivování mocniny, řetízkového pravidla a výše uvedeného výsledku

$-{\frac {d}{dx}}{\frac {1}{\varepsilon (\ln _{k}(x))^{\varepsilon }}}={\frac {1}{(\ln _{k}(x))^{1+\varepsilon }}}{\frac {d}{dx}}\ln _{k}(x)=\cdots ={\frac {1}{x\ln(x)\cdots \ln _{k-1}(x)(\ln _{k}(x))^{1+\varepsilon }}},$

tedy

$\int _{N_{k}}^{\infty }{\frac {dx}{x\ln(x)\cdots \ln _{k-1}(x)(\ln _{k}(x))^{1+\varepsilon }}}=-{\frac {1}{\varepsilon (\ln _{k}(x))^{\varepsilon }}}{\biggr |}_{N_{k}}^{\infty }<\infty$

přičemž (1) dává meze pro součet nekonečné řady (5).

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Integral test for convergence na anglické Wikipedii.

Související články

• Kritéria konvergence řad
• Konvergence (matematika)
• Přímé srovnávací kritérium
• Lebesgueova věta
• Eulerův-Maclaurinův vzorec
• Limitní srovnávací kritérium
• Věta o monotonní konvergenci

Literatura

• KNOPP, Konrad. Infinite Sequences and Series. New York: Dover Publications, Inc., 1956. Dostupné online. ISBN 0-486-60153-6. Kapitola 3.3. 
• WHITTAKER; WATSON. A Course in Modern Analysis. 4. vyd. [s.l.]: Cambridge University Press, 1927 (1963). Dostupné online. ISBN 0-521-58807-3. Kapitola 4.43, s. 49. 
• FERREIRA, Jaime Campos. Introdução à análise matemática. 7. vyd. [s.l.]: Ed Calouste Gulbenkian, 1999. 653 s. ISBN 972-31-0179-3. 

Portály: Matematika