Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Nevlastní integrál 1/x^3 zobrazen na grafe. Klasický Riemannův určitý integrál je definovaný na intervalu konečné délky. Někdy je nutné integrovat i na polopřímce nebo na celé přímce. K tomu se používá nevlastní integrál, který je zaveden použitím limitního přechodu v integrálu na intervalu konečné délky.
Jestliže funkce funkce
f
{\displaystyle f}
⟨
a
,
b
⟩
{\displaystyle \langle a,b\rangle }
lim
t
→
∞
∫
a
t
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \lim _{t\to \infty }\int _{a}^{t}f(x)\mathrm {d} x}
respektive:
lim
t
→
−
∞
∫
t
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \lim _{t\to -\infty }\int _{t}^{b}f(x)\mathrm {d} x}
pak tuto limitu nazýváme konvergentním nevlastním integrálem s nekonečnými mezemi [nevlastní integrálem vlivem intervalu] a píšeme:
∫
a
+
∞
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{+\infty }f(x)\mathrm {d} x}
respektive:
∫
−
∞
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{-\infty }^{b}f(x)\mathrm {d} x}
Jestliže uvedené limity neexistují, říkáme, že nevlastní integrál diverguje [je divergentní] .
Konvergují-li integrály:
∫
−
∞
a
f
(
x
)
d
x
,
∫
a
+
∞
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{-\infty }^{a}f(x)\mathrm {d} x,\int _{a}^{+\infty }f(x)\mathrm {d} x}
říkáme, že integrál
∫
−
∞
+
∞
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\mathrm {d} x}
konverguje [je konvergentní] , a píšeme:
∫
−
∞
+
∞
f
(
x
)
d
x
=
∫
−
∞
a
f
(
x
)
d
x
+
∫
a
+
∞
f
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{a}f(x)\mathrm {d} x+\int _{a}^{+\infty }f(x)\mathrm {d} x.}
Neexistuje-li aspoň jeden z integrálů
∫
−
∞
a
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{-\infty }^{a}f(x)\mathrm {d} x}
∫
a
+
∞
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{+\infty }f(x)\mathrm {d} x}
∫
−
∞
+
∞
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\mathrm {d} x}
diverguje [je divergentní]
Poznámka. Stejným způsobem je možno rozšířit integrál i na neohraničené funkce. Například
∫
0
1
1
x
2
d
x
=
lim
a
→
0
+
∫
a
1
1
x
2
d
x
.
{\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {1}{x^{2}}}\,\mathrm {d} x=\lim _{a\to 0^{+}}\int _{a}^{1}{\frac {1}{x^{2}}}\,\mathrm {d} x.}
V praxi proto rozlišujeme nevlastní integrál vlivem funkce a nevlastní integrál vlivem meze.
Obrázky, zvuky či videa k tématu Nevlastní integrál na Wikimedia Commons 