Harmonická řada

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Harmonická řada je posloupnost částečných součtů posloupnosti převrácených hodnot přirozených čísel

.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Řada se nazývá harmonická, protože každý člen kromě prvního je harmonickým průměrem sousedních členů.

Ačkoli je splněna nutná podmínka pro konvergenci řady, tj. , řada diverguje a její součet je roven nekonečnu,

To je důsledkem odhadu pro posloupnost částečných součtů, který objevil Mikuláš Oresme:

Posloupnost částečných součtů tedy roste logaritmicky, pro tedy platí

To je vidět i pomocí určitého integrálu:

Přesněji platí zajímavý vztah

kde je Eulerova konstanta, o níž není dosud známo, zda je iracionální číslo.

Členy posloupnosti částečných součtů se nazývají harmonická čísla a značí se

.

Je např. zajímavé, že desetinná čísla jsou jen

Související články[editovat | editovat zdroj]

Literatura[editovat | editovat zdroj]

  • JARNÍK Vojtěch. Diferenciální počet I. Praha: NČSAV, 1974.
  • JARNÍK Vojtěch. Diferenciální počet II. Praha: NČSAV, 1984.