Kritéria konvergence řad

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Kritéria konvergence jsou v matematice metody testování konvergence, podmíněné konvergence, absolutní konvergence, intervalové konvergence nebo divergence nekonečných řad .

Kritéria konvergence[editovat | editovat zdroj]

Určení součtu řady a tedy rozhodnutí o konvergenci nebo divergenci bývá často poměrně složité. V mnoha případech je postačující nahradit součet nekonečné řady jejím -tým částečným součtem . U konvergentních řad se chyba , které se touto náhradou dopouštíme, s rostoucím zmenšuje. U divergentních řad tomu tak ale není. Je tedy důležité umět rozhodnout o konvergenci nebo divergenci dané řady, aniž bychom získali součet řady.

K tomuto účelu můžeme použít buď přímo podmínky konvergence řad, nebo tzv. kritéria konvergence řad.

Kritéria konvergence řad ulehčují rozhodnutí o konvergenci (nebo divergenci) nekonečné řady. Kritérií pro určování konvergence existuje celá řada, přičemž každý řešený případ je nutno posuzovat zvlášť a zvolit vhodné kritérium.

Srovnávací kritérium[editovat | editovat zdroj]

Při srovnávacím (porovnávacím) kritériu uvažujeme dvě řady s nezápornými členy , přičemž pro všechna platí . Řadu označujeme jako minorantní řadu (minorantu) k řadě a řadu jako majorantní řadu (majorantu) k řadě . Potom platí, že pokud konverguje majoranta, tzn. , konverguje také minoranta, tedy . Diverguje-li minoranta , diverguje také majoranta, tedy .

Podílové kritérium[editovat | editovat zdroj]

Při podílovém kritériu konverguje řada s kladnými členy tehdy, existuje-li reálné číslo takové, že pro každé platí . Pokud je , pak řada diverguje.

Limitní podílové kritérium[editovat | editovat zdroj]

Podrobnější informace naleznete v článku D'Alembertovo kritérium.

Zavedeme-li pro řadu s kladnými členy veličinu , pak dostáváme tzv. limitní podílové kritérium konvergence, podle kterého je řada konvergentní pro , divergentní pro a pro může být konvergentní nebo divergentní.

Odmocninové kritérium[editovat | editovat zdroj]

Při odmocninovém (Cauchyově) kritériu uvažujeme, že řada s kladnými členy konverguje, pokud existuje reálné číslo a pro každé platí . Pro případ řada diverguje.

Limitní odmocninové kritérium[editovat | editovat zdroj]

Podrobnější informace naleznete v článku Cauchyovo limitní odmocninové kritérium.

Pokud pro řadu s kladnými členy zavedeme , pak můžeme použít limitní odmocninové kritérium, podle kterého je řada konvergentní pro , divergentní pro a pro může konvergovat nebo divergovat.

Raabeovo kritérium[editovat | editovat zdroj]

Podrobnější informace naleznete v článku D'Alembertovo kritérium.

Podle Raabeova kritéria je řada s kladnými členy konvergentní tehdy, pokud existuje takové a takové přirozené číslo , že pro všechna platí .

Jestliže existuje takové, že pro všechna platí , pak řada diverguje.

Limitní Raabeovo kritérium[editovat | editovat zdroj]

Podrobnější informace naleznete v článku D'Alembertovo kritérium.

Jestliže pro řadu s kladnými členy zavedeme , pak na základě limitního Raabeova kritéria určíme, že řada konverguje pro , diverguje pro a pro může konvergovat i divergovat.

Integrální kritérium[editovat | editovat zdroj]

Nechť je řada s kladnými členy, jejíž členy lze vyjádřit jako . Pokud ve funkci nahradíme diskrétní proměnnou spojitou proměnnou , přičemž bude spojitou a klesající funkcí na intervalu , pak podle tzv. integrálního kritéria je řada konvergentní tehdy, pokud konverguje integrál . Pokud integrál diverguje, pak diverguje také řada .

Leibnizovo kritérium[editovat | editovat zdroj]

Pro alternující řady, které zapíšeme jako , kde , lze použít Leibnizovo kritérium. Podle tohoto kritéria konverguje uvedená alternující řada tehdy, pokud existuje takové, že (tj. od určitého indexu ryze monotónně klesá), a zároveň .

Gaussovo kritérium[editovat | editovat zdroj]

[1]Nechť je kladná posloupnost, pro niž existují , kladné a omezená posloupnost taková, že pro všechny platí:

  • Když nebo když a , pak řada konverguje.
  • Když nebo když a , pak řada diverguje.

Dirichletovo kritérium[editovat | editovat zdroj]

Nechť je reálná posloupnost a komplexní posloupnost, pro které platí:

  • je od jistého indexu monotonní a ;
  • má omezenou posloupnost částečných součtů.

Pak řada konverguje.

Abelovo kritérium[editovat | editovat zdroj]

Nechť je reálná posloupnost a komplexní posloupnost, pro které platí:

  • je monotonní a omezená;
  • je konvergentní řada.

Pak řada konverguje.

Existuje také verze Abelova kritéria stejnoměrné konvergence pro řady funkcí.

Příklady[editovat | editovat zdroj]

Uvažujme řadu

Z Cauchyova kondenzačního testu vyplývá, že (*) je konečně konvergentní, jestliže

je konečně konvergentní. Protože

(**) je geometrická řada s kvocientem . (**) je konečně konvergentní, jestliže její kvocient je menší než jedna (jmenovitě ). Tedy (*) je konečně konvergentní právě tehdy, když .

Konvergence součinů[editovat | editovat zdroj]

Většina testů sice zkoumá konvergenci nekonečných řad, ale mohou být také použity pro zjištění konvergence nebo divergence nekonečných součinů. Toho lze dosáhnout použitím následující věty: Nechť je posloupnost kladných čísel. Pak nekonečný součin konverguje právě tehdy, když konverguje řada . Dále obdobně, jestliže platí, pak se blíží nenulové limitě právě tehdy, když konverguje řada .

Tvrzení lze dokázat aplikací funkce logaritmus na součin a použitím věty o porovnání limit.[2]

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Convergence tests na anglické Wikipedii.

  1. Springer online, Gauss criterion
  2. BELK, Jim. Convergence of Infinite Products [online]. 2008-01-26. Dostupné online. 

Související články[editovat | editovat zdroj]

Literatura[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]