Cauchyovo limitní odmocninové kritérium

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Cauchyovo limitní odmocninové kritérium je v matematice kritérium konvergence nekonečné řady. Závisí na hodnotě

kde jsou členy řady a říká, že řada konverguje absolutně, jestliže tato hodnota je menší než jedna, a diverguje, pokud je větší než jedna. Limitní odmocninové kritérium je obzvláště užitečné pro mocninné řady.

Popis kritéria[editovat | editovat zdroj]

Rozhodovací diagram pro Cauchyovo limitní odmocninové kritérium

Toto kritérium konvergence řad navrhl Augustin Louis Cauchy a publikoval jej ve své učebnici Cours d'analyse (1821)[1]. Pro řadu

používá Cauchyovo kritérium hodnotu

kde „lim sup“ označuje limes superior, případně ∞+. [2] Pokud konverguje výraz

pak se rovná C a tato hodnota může být použita jako kritérium konvergence.

Cauchyův kritérium říká, že:

Existují řady, pro které C = 1 a řada konverguje, například a existují jiné, pro které C = 1 a řada diverguje, například .

Aplikace na mocninné řady[editovat | editovat zdroj]

Toto kritérium lze používat pro mocninné řady

kde koeficienty cn a střed p jsou komplexní čísla a argument z je komplexní proměnná.

Členy této řada jsou an = cn(zp)n. Pak lze použít odmocninové kritérium na an, jako je uvedeno výše. Pamatujte, že někdy řada jako toto se nazývá mocninná řada "okolo p", protože poloměr konvergence je poloměr R největší interval nebo kruh se středem v p tak, že řada bude konverguje pro všechny body z striktně uvnitř (konvergence na hranici intervalu nebo obecně kruhu musí být zkontrolována odděleně). Důsledek odmocninového kritéria aplikovaný na takovou mocninnou řadu je, že poloměr konvergence je přesně , přičemž je ∞, pokud je jmenovatel 0.

Důkaz[editovat | editovat zdroj]

Důkaz konvergence řady Σan vychází ze srovnávacího kritéria. Pokud pro všechny nN (N nějaké pevné přirozené číslo) platí pak . Protože geometrická řada konverguje, pak podle srovnávacího kritéria konverguje i . Tedy Σan konverguje absolutně.

Pokud pro nekonečně mnoho n, pak an nekonverguje k 0, a tedy řada diverguje.

Důkaz důsledku: U mocninné řady Σan = Σcn(z − p)n jsme výše viděli, že řada konverguje, pokud existuje N takové, že pro všechna nN je

což je ekvivalentní s

pro všechna nN. Z toho plyne, že aby řada konvergovala, musí platit pro všechna dostatečně velká n. To je ekvivalentní s

takže Nyní jediné jiné místo, kde je možná konvergence, je pokud

(protože v bodech, kde > 1 bude řada divergovat), což poloměr konvergence nezmění, protože se jedná pouze o body ležící na hranici intervalu nebo kruhu, takže

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Root test na anglické Wikipedii.

  1. BOTTAZZINI, Umberto. The Higher Calculus: A History of Real and Complex Analysis from Euler to Weierstrass. [s.l.]: Springer-Verlag, 1986. Dostupné online. ISBN 978-0-387-96302-0. S. 116–117. . Překlad z italštiny Warren Van Egmond.
  2. Terrence Tichaona Dobbie (2017)

Související články[editovat | editovat zdroj]

Literatura[editovat | editovat zdroj]

  • JARNÍK, Jiří. Posloupnosti a řady. Praha: Mladá fronta, 1979. Dostupné online. Kapitola 3, s. 68-69. (česky) 
  • Knopp, Konrad. Infinite Sequences and Series. New York: Dover publications, Inc., 1956. Dostupné online. ISBN 0-486-60153-6. Kapitola 3.2. (anglicky) 
  • WHITTAKER, E. T.; WATSON, G. N. A Course in Modern Analysis. 4. vyd. [s.l.]: Cambridge University Press, 1963. ISBN 0-521-58807-3. Kapitola 2.35. (anglicky) 
  • Proof of Cauchy's root test [online]. PlanetMath [cit. 2020-01-30]. Dostupné online. (anglicky)